【lintcode】N皇后问题
2018-01-21 00:06
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n皇后问题是将n个皇后放置在n*n的棋盘上,皇后彼此之间不能相互攻击。 给定一个整数n,返回所有不同的n皇后问题的解决方案。 每个解决方案包含一个明确的n皇后放置布局,其中“Q”和“.”分别表示一个女王和一个空位置。 样例 对于4皇后问题存在两种解决的方案: [".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // Solution 2 "Q...", "...Q", ".Q.."]
思路:
国际象棋中皇后可以攻击同行同列以及同一斜线上的棋子,所以要以此来判断在一个棋盘格上能否放置一个皇后。我们使用一个长度为n的一维数组Queens来存储每一行的皇后的位置(-1表示没有皇后)。对于位置(r, c),只需判断
Queens[i] >= 0 && (Queens[i] == c || abs(r-i) == abs(c-Queens[i])),若为真表示有冲突,不可放置。
求解过程使用回溯法,(r,c)表示当前位置 对于该位置有如下几种情况:
1.r == n-1
a. c == n-1(即行尾), 如果有解,则记录这个解,然后回溯到上一行的皇后之后的位置(同时删去关于该皇后的记录);否则直接回溯到上一行
b. 未到行尾,如果有解,则记录这个解,然后清除该行的记录,最后将c加1,移动到下一个位置;否则直接移动到下一个位置
2.r < n-1(即未到最后一行)
a. c < n-1,即没有到行尾 如果可以放置皇后则记录相应的位置,然后令 r = r + 1, c = 0 ,移动到下一行; 否则将c加1,移动到下一个位置
b.c == n-1,即到达行尾 如果可以放置皇后,则记录,然后移动到下一行;否则,则回溯到上一行的皇后所在位置的后一个位置
3.在回溯的过程中可能会出现c >= n的情况,这时候如果 r == 0,则函数直接返回;否则回溯到上一行
代码
第一次写的题解中核心函数solve太过复杂,下面先提前给出一个简化过的solve函数。
void solve2(int r){ if(r == n){ for(int i = 0; i < n; i++) result[i][Queens[i]] = 'Q'; results.push_back(result); for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = 0; j < n; j++) result[i][j] = '.'; } else{ for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = r; j < n; j++) Queens[j] = -1; if(check(r, i)){ Queens[r] = i; solve2(r+1); } } } }
完整题解如下
class Solution { vector<int> Queens; vector<vector<string> > results; vector<string> result; int n; public: /* * @param n: The number of queens * @return: All distinct solutions */ vector<vector<string> > solveNQueens(int _n) { // write your code here n = _n; Queens.resize(n, -1); result.resize(n); for(int i = 0; i < n; i++) result[i].resize(n, '.'); if(n == 1){ result[0][0] = 'Q'; results.push_back(result); return results; } else if(n < 4) return results; solve(0,0); return results; } void solve(int r, int c){ if(c >= n) if(r == 0) return; else{ r--; //删去回溯点的解 result[r][Queens[r]] = '.'; int t = Queens[r]; Queens[r] = -1; solve(r, t+1); //回溯到上一行 return; } if(r == n-1){ for( ; c < n; c++){ if(check(r,c)){ result[r][c] = 'Q'; results.push_back(result); //添加新解 result[r][c] = '.'; //删去本行的皇后 } if(c == n-1){ //若已到行尾,则回溯 r--; //删去回溯点的解 result[r][Queens[r]] = '.'; int t = Queens[r]; Queens[r] = -1; solve(r, t+1); //回溯到上一行 return; } } } else{ for( ; c < n; c++){ if(check(r,c)){ result[r][c] = 'Q'; Queens[r] = c; r++; solve(r,0); return; } if(c == n-1){ if(r == 0) return; //如果已经回溯到了第一行,则返回 else{ r--; //删去回溯点的解 result[r][Queens[r]] = '.'; int t = Queens[r]; Queens[r] = -1; solve(r, t+1); //回溯到上一行 return; } } } } } int check(int r, int c){ for(int i = 0; i < Queens.size(); i++) if(Queens[i] >= 0 && (Queens[i] == c || abs(r-i) == abs(c-Queens[i])) ) return 0; return 1; } };
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