数理逻辑3 -- 形式数论12

形式系统的算术化：哥德尔数

这节来到了哥德尔不完备定理的峰底，剩下的路崎岖难行，到处是九十度的悬崖峭壁。

哥德尔数是一种“编码”，它把形式系统中的每个符号都映射成一个整数，基于此再把每个表达式映射成一个整数，再接着把每一个表达式序列也映射成一个整数。这是哥德尔证明不完备定理的聪明之举，他把形式系统算术化，这样关于这个形式系统的“元命题”（比如，“这个系统不存在某种好式子”，“这种好式子的证明序列至少包含5个好式子”），就可转换成整数，也就变成了关于整数的命题。

符号的哥德尔数

对于任意一阶逻辑理论K，哥德尔定义了以下函数：g(()=3,g())=5,g(,)=7,g(¬)=9,g(⇒)=11,g(∀)=13g(xk)=13+8k，对于k≥1g(ak)=7+8k，对于k≥1g(fnk)=1+8(2n3k)，对于k,n≥1g(Ank)=3+8(2n3k)，对于k,n≥1

函数值g(u)称为符号u的哥德尔数。从上面的定义，不难看出，不同符号的哥德尔数是不同的。

表达式的哥德尔数

接着，我们可以定义表达式的哥德尔数。注意，表达式不仅仅是好式子，它可以是任意符号序列（例如，∀Ax⇒,就是个表达式，它不是好式子）。

对于一个表达式u0u1,...,ur，定义它的哥德尔数为：g(u0u1,...,ur)=2g(u0)3g(u1)...pg(ur)r，其中pi是第i个质数(从第0个开始)，g(ui)是符号ui的哥德尔数。

不难看出，任意表达式的哥德尔数都与任意符号的哥德尔数不同，因为表达式的哥德尔数永远是偶数，而符号的哥德尔数永远是奇数。还有，如果一个表达式只有一个符号，那么这个符号有“两个”哥德尔数，一个是它自己作为符号时的哥德尔数，一个是它自己单独形成一个表达式时的哥德尔数。

序列的哥德尔数

最后，我们再定义表达式序列的哥德尔数。如果e0,e1,...,er是任意有限表达式序列，那么它的哥德尔数为：g(e0,e1,...,er)=2g(e0)3g(e1)...pg(er)r，其中pi是第i个质数，g(ei)是表达式ei的哥德尔数。

算术化后的递归关系

哥德尔定义了一系列的递归函数和关系，它们是后续证明不完备定理的重要基石。

定义3.12.1：如果以下关系是原始递归（或，递归），则称一阶理论K有一个原始递归（或，递归）的词汇表：

a. IC(x)：x是K中某个常量符号的哥德尔数，IC即Individual Constant

b. FL(x)：x是K中某个函数符号的哥德尔数，FL即Function Letter

c. PL(x)：x是K中某个谓词符号的哥德尔数，PL即Predicate Letter

从上述定义可看出，如果一阶理论K只有有限个常量符号、函数符号、谓词符号，那么它肯定有原始递归的词汇表（因为IC、FL、PL函数都可由有限个连接符号组合而成，比如x=7+8j1∨x=7+8j2∨...∨x=7+8jn）。特别的，S也有一个原始递归的词汇表。（不用再纠结S究竟有几个常量符号了，就假设它有100个，也足够前面的证明使用规则C。）

哥德尔以原始递归词汇表为基础，定义了几十个原始递归关系和函数。在讨论这些关系和函数之前，我们先给出一些经常会使用的引理，它们在教材中是习题。

引理3.12.1：以下函数都是原始递归：

a. px=p(x)为第x个质数，x≥0，那么px是原始递归。

b. 任意正整数x都有唯一的质数分解x=pa00pa11⋯pk(ak)。记(x)j为其质数分解中第j个因子的指数部分aj，则(x)j是原始递归。

c. 对于任意x>0，记lh(x)为x质数分解中非0指数的因子个数（即x=pa00pa11⋯pk(ak)中有多少个aj不是0）。对于x=0，令lh(0)=0。lh(x)可读作“x的长度”，它是原始递归。

d. 我们称x=pa00pa11⋯pk(ak)表示了正整数序列a0,a1,...,ak，类似的，称y=pb00pb11⋯pm(bm)表示了正整数序列b0,b1,...,bm，则定义函数x∗y=pa00pa11⋯pk(ak)pb0k+1pb1k+2⋯pbmk+1+m，它表示了序列a0,a1,...,ak,b0,b1,...,bm，称作并置函数（juxtaposition function），它也是原始递归。

证明：

a. 首先，p0=2。然后，不难看出px+1=μyy≤(px)!+1(px<y∧Pr(y))，其中关系Pr(y)为“y是质数”。上述式子是个递归表达式，它的意思是：第x+1个质数一定大于px，并且小于或等于(px)!+1。这点不难证明，利用欧几里德证明无穷个质数的技巧，证明如下：假设(px,(px)!+1]之间都没有质数，那么肯定存在某个j≤x，使得pj能整除(px)!+1。但是pj不可能整除(px)!+1，所以(px,(px)!+1]区间内一定有一个质数。我们继续证明px的原始递归性。不难看出，关系u<y∧Pr(y)是原始递归，因为u<y是递归关系，而Pr(y)的特征函数等于sg(∑0<z≤ysg¯¯¯(rm(z,y)−.2))，即只有两个小于或等于y的整数能整除y，由命题3.17可知Pr(y)的特征函数是原始递归。证毕。

b. 因为(x)j=μyy<x(pyj|x∧¬(py+1j|x))，后者是原始递归关系（整除可以等价为rm函数值为0）经过受限μ操作，因此也是原始递归关系。证毕。

c. 因为lh(x)=∑y<xsg¯¯¯(Pr(y)∧y|x∧x≠0)，即对于每个小于x的质数，都看一下它能否整除x，能整除就数进去，否则就不数。证毕。

d. 因为x∗y=x×∏j<lh(y)(p(y)jlh(x)+j)，证毕。