数理逻辑4 -- 公理化集合论2

这节笔记就一个个讨论前面提到的公理，穿插它们导致的一些结论。

引理4.2.1：⊢M(Z)∧Z=Y⇒M(Y)

证明：

1. M(Z)，假设

2. (∃X)(Z∈X)，这是1的展开写法

3. Z∈b，由2和规则C

4. Z=Y，假设

5. Z∈X⇔Y∈X，由4、Axiom T和MP

6. (∀X)(Z∈X⇔Y∈X)，由5和Gen规则

7. Z∈b⇔Y∈b，由6和A4

8. Y∈b，由3、7、合取消除和MP

9. (∃X)(Y∈X)，由8和规则E4

10. M(Y)，这是9的缩写

证毕。

有了引理4.2.1，以下命题很容易证明。

命题4.2：NBG是含等式的理论。

证明：NBG虽然不包含“等式”谓词，但是我们把好式子X=Y看成是“等式”。所以只要证明这个版本的A6、A7两条定理，即证⊢(∀X)X=X和(X=Y)⇒(B(X,X)⇒B(X,Y))。前者由命题4.1b已得出（加上Gen规则），后者成立只需不含函数符号的原子wf成立即可，也即(X=Y)⇒(X∈Z⇒Y∈Z)成立即可，这由Axiom T就可得出。证毕。

引理4.2.2：

a. ⊢(∀x)(∀y)(∃1z)(∀u)(u∈z⇔u=x∨u=y)，存在唯一集合z，使得z只有x,y两个成员。z称为x,y的“无序对”（unordered pair）

b. ⊢(∀X)(M(X)⇔(∃y)(X∈y))

c. ⊢(∃X)Pr(X)⇒¬(∀Y)(∀Z)(∃W)(∀U)(U∈W⇔U=Y∨U=Z)

证明：

a. 存在性由Axiom P直接得出。考虑唯一性，即要证(∀x)(∀y)(∀v)(∀w)((∀u)(u∈v⇔u=x∨u=y)∧(∀u)(u∈w⇔u=x∨u=y)⇒v=w)。这个要利用引理4.1.2扩展原则⊢X=Y⇔(∀z)(z∈X⇔z∈Y)。不难发现，我们只需证(∇): (∀u)(u∈V⇔u=X∨u=Y)∧(∀u)(u∈W⇔u=X∨u=X)⇒V=W即可（反复运用A1和Gen，把W,V,Y,X一步步变成w,v,y,x）。考虑式子(∇),

1. (∀u)(u∈V⇔u=X∨u=Y),(∀u)(u∈W⇔u=X∨u=Y)，假设

2. M(U)⇒(U∈V⇔U=X∨U=Y),M(U)⇒(U∈W⇔U=X∨U=Y)，这是1的展开写法

3. M(U)，假设

4. (U∈V⇔U=X∨U=Y),(U∈W⇔U=X∨U=Y)，由2、3和MP

5. U∈V⇔U∈W，由4，多次应用传递规则

6. 2,3⊢U∈V⇔U∈W

7. 2⊢M(U)⇒(U∈V⇔U∈W)，由6和演绎定理

8. 2⊢(∀u)(u∈V⇔u∈W)，由7、Gen和集合的缩写形式

9. 2⊢V=W，由8、引理4.1.2和MP

证毕。

b.

b.1 先证从左往右，即M(X)⇒(∃y)(X∈y)，利用Axiom P

1. (∀x)(∀y)(∃z)(∀u)(u∈z⇔u=x∨u=y)，由Axiom P

2. (∀X)(M(X)⇒((∀Y)(M(Y)⇒剩下的wf)))，对1“部分”展开

3. (∀X)(M(X)⇒(M(X)⇒剩下的wf))，由2，对Y应用规则A4，把Y替换成X

4. M(X)，假设

5. (∃z)(∀u)(u∈z⇔u=X∨u=X)，对3的X应用规则A4，然后由4应用两次MP，注意剩下的wf里面x,y都被替换成了X

6. (∃Z)[M(Z)∧(∀U)(M(U)⇒(U∈Z⇔U=X∨U=X))]

7. M(b)∧(∀U)(M(U)⇒(U∈b⇔U=X∨U=X))，由6和规则C

8. M(b),(∀U)(M(U)⇒(U∈b⇔U=X∨U=X))，由7和合取消除

9. M(X)⇒(X∈b⇔X=X∨X=X)，由8和规则A4

10. X∈b⇔X=X∨X=X, 由4、9和MP

11. X=X，命题4.1b

12. X∈b，由10、11、合取消除、MP

13. M(X)⊢M(b)∧X∈b，由4、8、12

14. M(X)⊢(∃Y)(M(Y)∧X∈Y)，由13和规则E4

15. M(X)⊢(∃y)(X∈y)，这是14的缩写

这就证明了b.1

b.2 再证从右往左，即(∃y)(X∈y)⇒M(X)

1. (∃y)(X∈y)，假设

2. (∃Y)(M(Y)∧X∈Y)，这是1的展开写法

3. (∃Y)(X∈Y)，对2应用规则C，再用规则E4

4. M(X)，这是3的缩写

5. (∃y)(X∈y)⊢M(X)，由1-4

这就证明了b.2。

所以，⊢M(X)⇔(∃y)(X∈y)，再应用Gen即可。证毕。

c. 我们证明它的“逆否”，即(∀Y)(∀Z)(∃W)(∀U)(U∈W⇔U=Y∨U=Z)⇒(∀X)M(X)。这里的“意思”就是，若Axiom P对所有类成立，那所有类都是集合了。

1. (∀Y)(∀Z)(∃W)(∀U)(U∈W⇔U=Y∨U=Z)，假设

2. X∈b⇔X=X∨X=X，对1应用A4和规则C，依次为U换成X，W换成b，Z和Y换成X

3. X=X，含等式理论的A6定理

4. X∈b，由2、3、合取消除和MP

5. (∃Y)(X∈Y)，由4和规则E4

6. M(X)，这是5的缩写

7. (∀X)M(X)，由6和Gen

证毕

接着，关于空集公理，我们有以下两个结论。

引理4.2.3：

a. ⊢(∃1x)(∀y)(y∉x)，空集唯一

b. ⊢(∀y)(y∉∅)∧M(∅)，引入常量符号∅表示空集，并且空集是集合。

证明：

a. 存在性由Axiom N得出。考虑唯一性，即要证(∀x)(∀w)[(∀y)(y∉v)∧(∀y)(y∉w)⇒v=w]。老套路，只需证(∀y)(y∉V)∧(∀y)(y∉W)⇒V=W，再依次对W,V应用A1和Gen即可。

1. (∀y)(y∉V)∧(∀y)(y∉W)，假设

2. (∀y)(y∉V),(∀y)(y∉W)，由1和合取消除

3. Y∉V,Y∉W，由2和A4

4. Y∉V⇒Y∉W,Y∉W⇒Y∉V，由3、A1和MP

5. Y∈V⇒Y∈W,Y∈W⇒Y∈V，由4和逆否规则

6. Y∈V⇔Y∈W，由5和合取引入

7. M(Y)⇒(Y∈V⇔Y∈W)，由6和A1

8. (∀y)(y∈V⇔y∈W)，由7和Gen，缩写

9. V=W，由8和引理4.1.2扩展规则、MP

证毕。

b. 由a出发，我们引入一个常量符号∅，使得⊢(∀y)(y∉∅)。然后，我们接着证M(∅)，注意使用引理4.2.1，⊢M(Z)∧Z=Y⇒M(Y)

1. (∃x)(∀y)(y∉x)，由Axiom N

2. (∃X)(M(X)∧(∀y)(y∉X))，这是1的展开写法

3. M(b),(∀y)(y∉b)，对2应用规则C

4. (∀y)(y∉∅)，前面已证

5. b=∅，由a得出

6. M(b)∧b=∅⇒M(∅)，由引理4.1.2，应用两次规则C

7. M(∅)，由3、6和MP

证毕。

接着，我们引入一个函数符号g(x,y)，表示集合x,y的无序对，引理4.2.2a保证了无序对的唯一性。按照集合论的惯例，我们可以把g(x,y)写作{x,y}。更一般的，我们可以这个函数符号应用到任意变量符号上，即{X,Y}，它的唯一性有以下引理保证。

引理4.2.4： ⊢(∃1Z)([(¬M(X)∨¬M(Y))∧Z=∅]∨[M(X)∧M(Y)∧(∀u)(u∈Z⇔u=X∨u=Y)])

证明：为了简洁，记A(Z)为(¬M(X)∨¬M(Y))∧Z=∅，记B(Z)为M(X)∧M(Y)∧(∀u)(u∈Z⇔u=X∨u=Y)。它的存在性很容易由Axiom P得出。考虑唯一性，即要证(A(V)∨B(V))∧(A(W)∨B(W))⇒V=W

1. A(V)∨B(V),A(W)∨B(W)，假设、合取消除

2. A(V)，假设

3. V=∅,¬M(X)∨¬M(Y)，对2展开、合取消除

4. ¬(M(X)∧M(Y))，由3、合取析取规则

5. ¬B(W)，由4、合取规则

6. A(W)，由1、5和析取消除

7. W=∅，对6展开，合取消除

8. V=W，由3、7、含等式理论的A6规则

9. 1,A(V)⊢V=W，由2、8

10. ¬A(V)，假设

11. B(V)，由1、10和析取消除

12. ¬A(W)，由11、合取析取规则

13. B(W)，由12、1和析取消除

14. V=W，由11、13、引理4.2.2a

15. 1,¬A(V)⊢V=W，由10、14

16. 1⊢V=W，由2、10、定理1.21

证毕

因此，有了引理4.2.4，我们引入的{X,Y}就可适用与任意变量X,Y，并且满足以下三个条件。

引理4.2.5：

a. ⊢[(¬M(X)∨¬M(Y))∧{X,Y}=∅]∨[M(X)∧M(Y)∧(∀u)(u∈{X,Y}⇔u=X∨u=Y)]

b. ⊢(∀x)(∀y)(∀u)(u∈{x,y}⇔u=x∨u=y)

c. ⊢(∀X)(∀Y)M({X,Y})

证明：

a. 根据引理4.2.4得出。证毕。

b. 根据a，若x,y是集合，则有M(X),M(Y)，所以有(∀u)(u∈{X,Y}⇔u=X∨u=Y。证毕。

c.

1. M(b)∧(∀u)(u∈b⇔u=X∨u=Y)，由引理4.2.2a

2. {X,Y}=∅，假设

3. M({X,Y})，由2、引理4.2.3b和MP

4. {X,Y}=∅⊢M({X,Y})，由2、3

5. ¬({X,Y}=∅)，假设

6. M(X)∧M(Y)∧(∀u)(u∈{X,Y}⇔u=X∨u=Y)

7. {X,Y}=b，由1、6和引理4.2.2a

8. M(b)∧{X,Y}=b，由1、7和合取引入

9. M({X,Y})，由8、引理4.2.1和MP

10. ¬({X,Y}=∅)⊢M({X,Y})，由5、9

11. ⊢M({X,Y})，由4、10和定理1.21

12. ⊢(∀X)(∀Y)M({X,Y})，由11和Gen

证毕。

接下来考虑有序对。首先，我们用{X}来表示{X,X}。然后，定义<X,Y>是{{X},{X,Y}}的缩写。

引理4.2.6：

a. ⊢{X,Y}={Y,X}

b. ⊢(∀x)(∀y)({x}={y}⇔x=y)

证明：

a.

1. M(X)∧M(Y)⊢(∀u)(u∈{X,Y}⇔u=X∨u=Y)，由引理4.2.5a

2. M(X)∧M(Y)⊢(∀u)(u∈{Y,X}⇔u=X∨u=Y)，由引理4.2.5a

3. M(X)∧M(Y)⊢{X,Y}={Y,X}，由1、2和引理4.2.2a

4. ¬(M(X)∧M(Y))⊢{X,Y}=∅，由引理4.2.5a

5. ¬(M(X)∧M(Y))⊢{Y,X}=∅，由引理4.2.5a

6. ¬(M(X)∧M(Y))⊢{X,Y}={Y,X}，由含等式理论的A7规则

7. ⊢{X,Y}={Y,X}，由3、6和定理1.21

证毕

b.

1. (∀x)(∀y)(∀u)(u∈{x,y}⇔u=x∨u=y)，由引理4.2.5b

2. M(X)⊢(∀u)(u∈{X,X}⇔u=X∨u=X)，对1应用两次A4，第二次用在y上时把y替换成x

3. M(X)⊢b∈{X}⇔b=X，在2中对u应用A4，再应用析取消除

4. M(Y)⊢b∈{Y}⇔b=Y，类似3的操作

5. {X}={Y}，假设

6. b∈{X}⇔b∈{Y}，由5，根据等式的定义可得

7. b=X⇔b=Y，由3、4、6

8. X=b⇒b=X，由命题4.1c

9. X=Y，由7、8、合取消除和MP

10. M(X),M(Y),{X}={Y}⊢X=Y，由2、3、5、9

11. M(X),M(Y)⊢{X}={Y}⇒X=Y，由10和演绎定理

12. X=Y，假设

13. z∈{X}⇔z∈{Y}，含等式理论的A7规则

14. {X}={Y}，由13和Gen，缩写

15. M(X),M(Y),X=Y⊢{X}={Y}，由2、3、12、14

16. M(X),M(Y)⊢X=Y⇒{X}={Y}，由15和演绎定理

17. ⊢(∀x)(∀y)({x}={y}⇔x=y)，由11、16、演绎定理、Gen，缩写

证毕。

命题4.3：有序对的性质⊢(∀x)(∀y)(∀u)(∀v)(<x,y>=<u,v>⇒x=u∧y=v)

证明：以后涉及到集合，比如x,y，的证明可以简洁点，只要注意我们一直是在比如M(X),M(Y)的前提下讨论即可。

假设<x,y>=<u,v>，根据定义就有{{x},{x,y}}={{u},{u,v}}。因为{x}∈{{x},{x,y}}（由引理4.2.5b）,所以{x}∈{{u},{u,v}}（由等式的定义得出），因此{x}={u}或{x}={u,v}，无论那种情况都可得出x=u。

接着，{u,v}={x}或{u,v}={x,y}。类似的，{x,y}={u}或{x,y}={u,v}。若{u,v}={x}和{x,y}={u}，那么可得x=u=v=y。若{u,v}={x,y}，则{x,v}={x,y}（因为上面已证x=u），所以要么y=x=v，要么y≠x但y=v。证毕。

我们可以定义n元有序列，如下：<X>=X<X1,...,Xn+1><<X1,...,Xn>,Xn+1>。由命题4.3，不难得出：

引理4.2.7：⊢(∀x1)...(∀xn)(∀y1)...(∀yn)(<x1,...,xn>=<y1,...,yn>⇒x1=y1∧...∧xn=yn)