[高等数学]函数与极限(2)—函数的连续性

函数的连续性与间断点
函数的连续性

函数的间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的和差积商的连续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理

零点定理与介值定理

一致连续性

函数的连续性与间断点

函数的连续性

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，那么就称函数y=f(x)在点x0连续

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0连续

如果limx→x−0f(x)=f(x−0)存在且等于f(x0)，即f(x−0)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0左连续；如果limx→x+0f(x)=f(x+0)存在且等于f(x0)，即f(x+0)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0右连续

在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上连续函数，或者说函数在该区间上连续

函数的间断点

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：

在x=x0没有定义；

虽在x=x0有定义，但limx→x0f(x)不存在；

虽在x=x0有定义，且limx→x0f(x)存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)，

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。常见间断点：无穷间断点、震荡间断点、可去间断点、跳跃间断点

若间断点的左右极限都存在，那么间断点称为函数f(x)的第一类间断点，否则称为第二类间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差）f±g、积f⋅g及商fg（当g(x0)≠0时）都在点x0连续

反函数与复合函数的连续性

如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f−1(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续

设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(x)复合而成，U˚(x0)⊂Df∘g。若limx→x0g(x)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=f(u0)

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，U(x0)⊂Df∘g。若函数u=g(x)在x=x0连续，且g(x0)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续，则复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续

初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。定义区间就是包含在定义域内的区间

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0∈I，使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

零点定理与介值定理

零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)⋅f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0

介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

一致连续性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数ϵ，总存在着正数δ，使得对于区间I上任意两点x1、x2，当|x1−x2|<δ时，就有|f(x1)−f(x2)|<ϵ，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的

一致连续性定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续