高等数学：第一章 函数与极限（2）无穷大 无穷小 极限准则

§1.5  无穷小与无穷大

一、无穷小

1、无穷小的描述性定义

如果函数

当

(或

) 时的极限为零，那么，称函数

为

(或

) 时的无穷小。

2、无穷小的精确定义


，

（或

），当

(或

)时，有



成立，则称函数

为当

（或

）时的无穷小，记作





无穷小并不是一个全新的概念，仅仅是在自变量的变化过程中，函数以零为极限。只是由于这类极限在高等数学中具有其特殊的地位，我们宁愿赋予它这一术语。



3、函数极限与无穷小的关系

【定理】

在自变量的同一变化过程 

(或 

 )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;

反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。

【证明】设

， 依函数极限的定义有:



令 

， 则 

是 

时的无穷小，且



即

等于它的极限 

 与一个无穷小 

 之和。

反过来，

设 

， 其中 

 是常数， 

是 

时的无穷小。

因 

是

时的无穷小，
依无穷小的定义有:



从而有     

 。

即 

 是

当 

 时的极限。

( 类似地可证明 

时的情形 )

二、无穷大

1、无穷大的描述性定义

如果函数

当

(或

)时，其绝对值

无限地增大，那么称函数

为

 (或

) 时的无穷大。

2、无穷大的精确化定义


，

（或 

），当 

（或

）时，有



成立，则称函数

为当 

（或 

）时的无穷大。

无穷大是一个全新的概念，对它的理解应注意如下几点:

(1)、据函数极限定义，若函数当

(或

)时为无穷大，那么函数的极限实际上是不存在的。但是为了描述函数的这一特别有用的性态，我们宁愿称函数的极限是无穷大，并记作



(2)、若将定义中

换成

，就记作



或




3、无穷小与无穷大的关系

【定理】

在自变量的同一变化过程

（或 

 ）中，如果

为无穷大，则

为无穷小；

反之，如果

为无穷小，且

，则

为无穷大。

这一定理所陈述的事实是显然的， 证明从略。

【例】试证明: 


证明：

，欲使

，只需 

，

可取

，当 

时，有


 

成立，故

。

这一极限具有十分显著的几何特征，它表明:

直线

是曲线

的一条铅直渐近线。

用matlab作出该函数在区间[0，1]上的图形（事实上是[0，0.995]）上的图形，可以清楚地看出这一点。



不难将这一事实推广到一般

若

，则直线 

 是曲线

 的一条铅直渐近线。

§1.6  极限运算法则

极限语言只能证明极限，不能求极限。对于简单函数的极限问题，可以先用观察法看出其极限，再用极限语言加以证明，但对于一些形式复杂的函数，就不太容易观察出它的极限。

因此，研究函数极限的运算法则，便十分的必要。

【声明】

1、在下面的讨论中，只给出函数极限的运算法则，这些法则可相应地移植到数列极限。

2、在下面的讨论中，若

下面未标明自变量的变化趋势，表明对

及

均成立的。

【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。

【证明】考虑两个无穷小之和的情形。

设 

及 

 均是当 

时无穷小，
而 

。

依无穷小的定义， 有:





只要取

，有





这表明 

是当 

 时的无穷小。

必须指出:  无限个无穷小之和不一定是无穷小。

【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

【证明】设函数 

在 

的某一邻域 

内有界

设 

 是当 

时的无穷小。

下面证明 

 是 

 时的无穷小

依函数有界的定义，有:



依无穷小的定义， 有:



取  

， 从而





这表明， 

是 

 时的无穷小。

【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。

【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。

有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?

表面上，这一问题的答案是显然的，即:是无穷小。 其实却不然，因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。

【定理三】(极限运算的分配律)

若 

，

，则

 存在，且


。

【证明】因 

， 

， 由极限存在与无穷小的关系定理有:


     ( 

 是无穷小 )

于是      


由定理1，

是无穷小;

由定理2的推论1， 

是无穷小，

再由定理1，

是无穷小;

总之，

是无穷小。

利用极限与无穷小的关系有



高等数学中还有许多类似的性质，为此，我们对这一性质专门给出几点注解。

(1)、

和

均存在，则 

存在。

(2)、若

存在，

不存在，则

不存在。

【反证法】记 

， 假设 

 存在

而 

  或  


由于 

 与 

 均存在，据【定理三】有:


 亦存在。 这与条件产生矛盾，故 

不存在。

(3)、

 与 

 均不存在， 则 

可能存在， 也可能不存在。

【反例】设 

 ， 

，显然， 

与

均不存在

但是                    

存在，

而                        

不存在



【定理四】

若

，

，则 

 存在，且


。

定理四也有与定理三完全相同的四点注解，它还有两个重要的推论。

【推论一】

若

存在，

为常数， 则 

。

【推论二】

若

 存在，

为正整数，则

。

【定理五】

若

，

，且

，则

 存在，且



对商的极限运算法则， 应注意条件:

(1)、极限 

 均存在。

(2)、作分母的函数 

 的极限 

。

当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。

【定理六】

如果 

， 而 

 、

， 则 

。

【证明】 作函数 

， 且 

。

由极限的保号性有:         

， 即



故   

。

必须指出：即使不等式 

 严格成立， 结论仍然是

，不可以认为是 

。

例如：

、

表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而

表示圆的面积。

显然，

 ，但 

。

运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。

首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:

设 

 是任意实数，则 




【例1】




此极限可作一般性的推广：



【例2】  

  



可对此例作一般性的推广:

设 

 是有理分式函数， 

与 

为

的多项式，若 

， 则

。

【证明】由定理5与例1， 有



【例3】 求 

 



【例4】 

 



对于有理分式函数

，当

时，不能使用商的极限法则来求极限

。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：



§1.7  极限存在准则、两个重要极限

一、两边夹准则

如果数列

、

及

满足下列条件：

(1)、


(2)、


那末数列

的极限存在，且

。

【证明】因 

，据数列极限定义，有

 

；

 对于上述

， 

，

故可取



则当 

 时，有 

，

 同时成立，亦即：



从而有     


亦即       

      成立

这就是说， 


准则一还可推广到函数极限的情况：

如果函数

，

及

满足下列条件：

（1）、

（且 

 ），（或 

）时，有



成立；

（2）、


那么，

 存在，且等于 

 。

二、重要极限之一 



 证明： 记 

 ， 由于 

，
我们不妨只究 

这一情形加以证明，如下图所示：



从几何图形上可清楚地看出：



于是有两边夹的不等式     


而 

 事实上， 当 

，
有：



据两边夹准则， 我们有： 


而 

 是偶函数， 故 


由函数的左右极限的性质知， 


下面， 我们给出当

从1开始，以 

为步长减少而趋近于

时， 

的图象的动画演示。



【例1】用两边夹法则证明：半径为

的圆面积为

。

正多边形的面积公式为 

，

是正多边形的周长，

是边心距。

如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积

，n表示正多边形的边数。



显然有：

，而










我们可得到圆的面积公式





至此，利用两边夹法则与１极限，用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m，可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。

 

【例2】试证明：圆的周长与圆的直径之比为常数

。



我们知道，

 时，

(圆的周长), 

，故



三、单调有界准则

单调有界数列必有极限。

这一准则在几何上是非常显然的。例如：设数列

单调增加且有上界A。在数轴上将数列的各项画出来， 它们严格地依次从左向右延伸， 且前方有点 A 挡住去路， 因此，这些点必在某点处产生“凝聚”，即：数列 

 收敛。



四、重要极限之二  



记 

 利用二项展开式， 我们有：





这表明数列 

 有界， 它位于(0，3)之间。

另一方面， 仿上面的形式， 不难写出：



这说明，数列

是单调增加的。

据准则二， 

存在，记作： 

。

由

的展开式有：

，因此，
常数

。

由  

 有



运行matlab程序gs0104.m，可得出

时，对应的数列项

的近似值。




极限还可推广到更一般的情形：



利用变量替换 

 ，则 

，原极限可变成一种新的形式：          


【例3】求 


解： 

， 令 

，
而 

，

且         


原式 = 


【例4】求极限 


解： 令 

 ， 






通过四个例子，可总结出如下求极限技巧。



from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/