[高等数学]函数与极限(2)—极限
2017-09-27 15:01
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数列的极限
数列极限的定义
收敛数列的性质
函数的极限
函数极限的定义
函数极限的性质
无穷小与无穷大
无穷小
无穷大
极限运算法则
极限存在法则 两个重要极限
无穷小的比较
如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或者说数列{xn}是发散的,习惯上也说limn→∞xn不存在
如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一。如数列xn=(−1)n+1(n=1,2,...,)是发散的
如果存在正数M,使得数列{xn}中一切{xn}都满足不等式|xn|≤M,则称数列{xn}是有界的。如果不存在这样的M,则数列{xn}无界
收敛数列的有界性:
如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界
如果数列无界,那么数列一定发散;但若数列有界,却不一定收敛,如数列1,−1,1,...,(−1)n+1,...
收敛数列的保号性:
如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)
如果数列{xn}从某项起有xn≥0(或xn≤0),且limn→∞xn=a,那么a≥0(或a≤0)
收敛数列与其子数列间的关系:
如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a
如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的
在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限:
如果在x→x0的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限(前提是函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义)
邻域半径δ体现了x接近x0的程度
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,记作limx→x0f(x)=A或f(x)→A(当x→x0)
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件时左极限及又极限各自存在并且相等,即f(x−0)=f(x+0)
自变量趋于无穷大时函数的极限:
设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(当x→∞)
函数极限的局部有界性:如果limx→x0f(x)=A,那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x−x0|<δ时,有|f(x)|≤M
函数极限的局部保号性:如果limx→x0f(x)=A,且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0,使得当0<|x−x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)
如果limx→x0f(x)=A(A≠0),那么就存在着x0的某一去心邻域U˚(x0),当x∈U˚(x0)时,就有|f(x)|>|A|2
函数极限与数列极限的关系:如果极限limx→x0f(x)存在,{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足:xn≠x0(n∈N+),那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛,且limn→∞f(x)
在自变量的统一变化过程x→x0(或x→∞)中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件时f(x)=A+a,其中a是无穷小
在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1f(x)为无穷大
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积也是无穷小
如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么:
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B
若又有B≠0 ,则limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB
如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x)。即在求极限时,常数因子可以提取到极限记号外面。因为limc=c
如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n
设有数列{xn}和{yn},如果limn→∞xn=A,limn→∞yn=B,那么:
limn→∞(xn±yn)=A±B
limn→∞xn⋅yn=A⋅B
当yn≠0(n=1,2,...)且B≠0时,limn→∞xnyn=AB
如果φ(x)≥ψ(x),而limφ(x)=a,limψ(x)=b,那么a≥b
复合函数的极限运算法则:设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若limx→x0g(x)=u0,limu→u0f(u)=A,且存在δ0>0,当x∈U˚(x0,δ0)时,有g(x)≠u0,则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A
从某项起,及∃n0∈N,当n>n0时,有:yn≤xn≤zn,
limn→∞yn=a,limn→∞zn=a,那么数列{xn}的极限存在,且limn→∞xn=a
如果:
当x∈U˚(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x),
limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)h(x)=A,
那么limx→x0(x→∞)f(x)存在,且等于A
单调有界数列必有极限:
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列
如果数列不仅有界,并且是单调的,那么这数列的极限必定存在,也就是这数列一定收敛
limx→∞(1+1x)x=e
设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界,则f(x)在x0的左极限f(x−0)必定存在
柯西极限存在准则:数列{xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ϵ,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时,就有|xn−xm|<ϵ
如果limβα=∞,就说β是比α低阶的无穷小;
如果limβα=c≠0,就说β与α时同阶无穷小;
如果limβαk=c≠0,k>0,就说β是关于α的k阶无穷小;
如果limβα=1,就说β是α高阶的无穷小,记作α ~ β
数列极限的定义
收敛数列的性质
函数的极限
函数极限的定义
函数极限的性质
无穷小与无穷大
无穷小
无穷大
极限运算法则
极限存在法则 两个重要极限
无穷小的比较
数列的极限
数列极限的定义
设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|xn−a|<ϵ都成立,那么久称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为limn→∞xn=a,或xn→a(n→∞)如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或者说数列{xn}是发散的,习惯上也说limn→∞xn不存在
收敛数列的性质
极限的唯一性:如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一。如数列xn=(−1)n+1(n=1,2,...,)是发散的
如果存在正数M,使得数列{xn}中一切{xn}都满足不等式|xn|≤M,则称数列{xn}是有界的。如果不存在这样的M,则数列{xn}无界
收敛数列的有界性:
如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界
如果数列无界,那么数列一定发散;但若数列有界,却不一定收敛,如数列1,−1,1,...,(−1)n+1,...
收敛数列的保号性:
如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)
如果数列{xn}从某项起有xn≥0(或xn≤0),且limn→∞xn=a,那么a≥0(或a≤0)
收敛数列与其子数列间的关系:
如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a
如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的
函数的极限
函数极限的定义
函数极限的定义:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限:
如果在x→x0的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限(前提是函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义)
邻域半径δ体现了x接近x0的程度
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,记作limx→x0f(x)=A或f(x)→A(当x→x0)
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件时左极限及又极限各自存在并且相等,即f(x−0)=f(x+0)
自变量趋于无穷大时函数的极限:
设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(当x→∞)
函数极限的性质
函数极限的唯一性:如果limx→x0f(x)存在,那么这极限唯一函数极限的局部有界性:如果limx→x0f(x)=A,那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x−x0|<δ时,有|f(x)|≤M
函数极限的局部保号性:如果limx→x0f(x)=A,且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0,使得当0<|x−x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)
如果limx→x0f(x)=A(A≠0),那么就存在着x0的某一去心邻域U˚(x0),当x∈U˚(x0)时,就有|f(x)|>|A|2
函数极限与数列极限的关系:如果极限limx→x0f(x)存在,{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足:xn≠x0(n∈N+),那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛,且limn→∞f(x)
无穷小与无穷大
无穷小
如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零,那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小在自变量的统一变化过程x→x0(或x→∞)中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件时f(x)=A+a,其中a是无穷小
无穷大
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<|x−x0|<δ(或|x|>M),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1f(x)为无穷大
极限运算法则
有限个无穷小的和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积也是无穷小
如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么:
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B
若又有B≠0 ,则limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB
如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x)。即在求极限时,常数因子可以提取到极限记号外面。因为limc=c
如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n
设有数列{xn}和{yn},如果limn→∞xn=A,limn→∞yn=B,那么:
limn→∞(xn±yn)=A±B
limn→∞xn⋅yn=A⋅B
当yn≠0(n=1,2,...)且B≠0时,limn→∞xnyn=AB
如果φ(x)≥ψ(x),而limφ(x)=a,limψ(x)=b,那么a≥b
复合函数的极限运算法则:设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若limx→x0g(x)=u0,limu→u0f(u)=A,且存在δ0>0,当x∈U˚(x0,δ0)时,有g(x)≠u0,则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A
极限存在法则 两个重要极限
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件:从某项起,及∃n0∈N,当n>n0时,有:yn≤xn≤zn,
limn→∞yn=a,limn→∞zn=a,那么数列{xn}的极限存在,且limn→∞xn=a
如果:
当x∈U˚(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x),
limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)h(x)=A,
那么limx→x0(x→∞)f(x)存在,且等于A
单调有界数列必有极限:
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列
如果数列不仅有界,并且是单调的,那么这数列的极限必定存在,也就是这数列一定收敛
limx→∞(1+1x)x=e
设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界,则f(x)在x0的左极限f(x−0)必定存在
柯西极限存在准则:数列{xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ϵ,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时,就有|xn−xm|<ϵ
无穷小的比较
如果limβα=0,就说β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α);如果limβα=∞,就说β是比α低阶的无穷小;
如果limβα=c≠0,就说β与α时同阶无穷小;
如果limβαk=c≠0,k>0,就说β是关于α的k阶无穷小;
如果limβα=1,就说β是α高阶的无穷小,记作α ~ β
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