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高等数学：第一章函数与极限（3）无穷小连续性间断点连续函数

2016-03-01 14:16 519 查看

§1.8 无穷小的比较

两个无穷小的乘积仍是无穷小，而两个无穷小之商却有如下几种情况：

例如：当时

，

、

都是无穷小，但是

，

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映出不同无穷小趋向于零时，在“快慢”上是有区别的。

由上述极限，我们粗略地感觉到：

较

趋向于零更快，而

与

趋向于零时，在快慢上大体相当。

一、定义

下面的

及

都是同一个自变量的变化过程中的无穷小，而

也是在这个变化过程中的极限。

如果

，就说

是比

高阶的无穷小，记作

；

如果

，就说

是比

低阶的无穷小；

如果

，就说

是与

同阶的无穷小；

如果

，就说

与

是等价无穷小，记作

。

据此定义，当

时，

是比

高阶的无穷小，

而

与

是同阶的无穷小，

由极限

，

与

是等价无穷小。

二、等价无穷小的一个重要性质

证明：

这一性质表明， 求两个无穷小之比的极限，分子及分母都可用等价无穷小来代替，从而达到简化极限的计算之目的。

【例1】求

解：当

时，

，

所以

【例2】求

解：令

，则

，且

于是我们有：当

时

上述两例使我们看到了等价无穷小代换在求极限时的“威力”，但是，运用这一方法时应该注意以下两点：

【例3】求

解：原式

注：

如果用等价无穷小代换，就会得出错误的结论。

，原式=

为了使同学们对这一例子有更深的了解，我们利用计算机程序gs0105.m，可给出函数

在区间（0.001, 1）上的图象。

由图象不难看出，在0附近，函数值接近于0.5,而不是0呀！

【例4】求

解：令

，则

，且

原式=

注：

§1.9 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1、增量

设变量

从它的初值

变到终值

，终值

与初值

的差

，称为变量

的增量，记为

，即：

。

注意：

(1)、增量

可正亦可负(不要由于名称中的“增”字，而认为

)。

(2)、

应视为一个整体记号。

假设函数

在点

的某一个邻域内有定义，当自变量

在邻域内从

变到

时，
函数

相应的从

变到

，
我们将差值

称之为函数

在点

处的增量。

函数增量的几何意义如下：

2、函数的连续性

所谓函数在点

处连续是指：

或

其严格定义如下：

【定义1】

设

在点

的某一邻域内有定义，如果当自变量增量

趋向于零时，
对应的函数增量

也趋向于零，则称函数

在点

处连续。

令

，则

可见：(1)式等价于

因此，函数的连续性定义可以改成下述新的形式。

【定义2】

设

在点

的某一邻域内有定义，
如果函数

当

时的极限存在且等于它在该点的函数值，
即

则称函数

在点

处连续。

关于函数的连续性，还有几个相应的概念。

1、如果

，称函数

在

处左连续。

2、如果

，称函数

在

处右连续。

3、如果函数在区间

上每一点均连续，称函数在区间

上连续;

若

包括端点，那么函数在右端点的连续性是指左连续，而在左端点的连续性是指右连续。

连续函数的图象是一条连绵不间断的曲线。这是因为，如果函数的图象上出现了“空洞”、“断裂”，那么函数在该点处一定不连续。请看示例图。

在

处，图例一的

，
显然，

，函数在

处间断，曲线上的一个空洞。

在

处，图例二的增量为

显然，

。曲线在

处有一段阶梯。

3、证明函数极限的方法

证明函数

在点

连续，等价于证明下述极限

若要证明函数

在区间

上连续，只需对

上任意一点

证明(1)或(2)成立。

在§6(极限运算法则)中，我们业已证明了结论：

(1)、如果

是多项式函数，

有

，这表明多项式函数

在

内连续;

(2)、如果

是有理分式函数，

，只要

，有

，
这表明有理分式函数

在其定义域内连续。

【例1】证明函数

在

内连续。

证明：

则有

故有

，据函数在点

连续的定义

在

连续，又由于

是

上的任意一点，因此，函数在区间

上连续。

【例2】证明函数

在

上连续。

证明：

，当

有增量

时，对应的函数增量为

因

故

据两边夹法则，当

时，

，进而

，

这便证明了函数

对于任何

是连续的，继而证明了函数在区间

上的连续性。

类似地，同学们可以仿此方法证明

在

上的连续性。

二、函数的间断点

1、间断点的定义

所谓函数

在

处间断，粗略地讲，意指函数

在

处不连续。

那么函数在一点不连续的“正面涵义”又是什么呢? 我们仅需要将函数

在

处连续的定义中的各个条款一一地加以否定即可。

设

在

的某个邻域内有定义，但

除外(即：函数

在

处可以有定义，也可以无定义)，如果

有下列三种情形中之一：

(1)、在

处没有定义；

(2)、虽在

有定义，但

不存在；

(3)、虽在

有定义，且

存在，但

则称

在

处不连续，点

是函数

的间断点。

2、典型实例

【例3】

在

间断，它是振荡间断点。

运行程序gs0106.m,可作出此函数在[-1,1]上的图象。

【例4】

在

间断，它是无穷间断点。

【例5】

在

间断，它是可去间断点。

【例6】

在

间断，它是跳跃间断点。

3、间断点的分类

以函数的左极限

、右极限

是否均存在，
将间断点分为两类。

设

是函数

的间断点，若

(1)、

均存在，则称

为函数

的第一类间断点；

(2)、

中至少有一个不存在，则称

为函数

的第二类间断点。

§1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：

【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。

【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。

【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

例如：我们已知函数

，

在

上连续，据上述定理，

，

在

上也是连续的；而正切与余切函数

，

则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。

二、反函数与复合函数的连续性

【定理四】

如果函数

在区间

上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数

也在区间

上单值，单增（或单减）且连续。

这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：

直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续

要特别加以注意。

其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。

另外，区间

实际上是直接函数的值域。

下面，我们来讨论反三角函数的连续性问题。

在

上单值、单增、连续，其值域为

。反函数

在

上亦单值、单增、连续。

由于函数只与对应法则和定义域有关，而与自变量的选取与关。通常，我们也用

来记

的反函数。

的反函数

在

上亦是单值、单减、连续。

的反函数

则在

上单值、单增、连续。

三、复合函数的连续性定理

【定理五】

设函数

当

时的极限存在且等于

，即

而函数

在点

连续，
则复合函数

当

时的极限存在且等于

，
即

(1)

证明：

因

在

连续，则

。

，

，当

时，

又

，对于上述

，

，当

时，有

综合上述两个步骤有：

，

，当

时，有

进而有：

故

2、（1）式还可写成形式

(3)

表明：求函数极限，可使用变量代换

。

将自变量变化趋势

，换成新变量变化趋势

，

将

转化为

（其中

）。

3、定理5中的变量变化趋势

可换成

，
其结论仍旧成立。

【定理六】

设函数

在

连续，且

；而函数

在点

处亦连续，那么复合函数

在

处连续。

【证明】：只要在定理5中，令

即：

在

连续。

于是，(1)式可表示成：

这便证明了函数

在点

处连续。

【例1】求

（其中

为正整数）

解：

这里：我们用到了

在

处的连续，而

在

时极限存在，且为

。

注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。

【例2】求

解：

注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。

三、初等函数的连续性

前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：

1、指数函数

在

内连续。

2、对数函数

在

内连续。

3、幂函数

在其定义域(定义域要据

的取值而定)内连续。

总之，基本初等函数在其定义域内连续。

由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。
最后指出：如果函数

在点

连续，那么求极限

，只需计算

即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。

【例3】求

解：

是初等函数，在它的定义域

内是连续的，而点

，据基本结论有：

§1.11 闭区间上连续函数的性质

如果函数

在开区间

内连续，在右端点

左连续，在左端点

右连续，那未函数

就在闭区间

上连续。

一、最大值与最小值定理

先介绍最大值与最小值概念：

对于区间

上有定义的函数

，如果有

，使得对于任一

都有

则称

是函数

在区间

上的最大值(最小值)。

【定理一】(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

这一定理在几何上是十分显然的。

设想有一条有弹性的弦，两个端点固定，呈水平地放置在坐标系中；若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用，则产生形变，成为一条有高低起伏的曲线。

显然，C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

最值存在定理中的两个条件：(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可，否则结论不成立。

根据定理一，下面的定理二，几乎是一望便知的事实。

【定理二】( 有界性定理 )

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理，先引入一个概念：

如果

使

，
则称

为函数

的一个零点。

事实上，

也可以看成函数方程

的一个根。

【定理三】( 零点定理 )

设

在闭区间

上连续，且

与

异号(即

)，
则在开区间

内至少有函数

的一个零点，即存在点

，使

零点定理的几何意义十分显然，它表明：

若连续曲线弧

的两个端点位于

轴的不同侧，则曲线弧与

轴至少有一个交点。

利用这一思想，可用计算机作图来观察方程是否有实数根，有几个实根；若有实根，其实根所处的大致位置。

下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是：将函数

与直线

作在同一个图上，观察它们是否相交。

【例1】判断方程

在

是否有根?

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-2，2]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-2:0.0005:2;

y=x.^2+x-1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-2,2],[0,0],'r')

plot([0,0],[-2,5],'r')

【例2】判断方程

有几个实数根。

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-1，1]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-4:0.0005:4;

y=exp(-x.^2)-0.5;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-4,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')

【定理4】( 介值定理 )

设函数

在闭区间

上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

及

那末，对于

与

之间的任意一个数

，在开区间

内至少有一点

，

使得

这定理的几何意义是：

连续曲线弧

与水平直线

至少相交于一点。

证明：设

，则

在闭区间

上连续，且

与

异号。据零点定理，开区间

内至少有一点

使得

但

，因此由上式即得

【推论】

闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

【例3】给定一元三次方程

1、说明该方程在

内至少有一个根；

2、利用计算机作图，说明该方程根的大致位置；

3、用计算方法中的“两分法”求此根近似值(精确到小数点后2位)。

解：函数

在闭区间

上连续，又

，

根据零点定理，在(0，1)内至少有一点

，使得

即

故方程

在区间(0，1)内至少有一个根

。

下面作出函数

在

上的图象。

x=-1:0.0005:4;

y=x.^3-4*x.^2+1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-1,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-10,2],'r')

从图象可看出，函数在(0，1)间有一个零点，大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。

利用零点定理的原理，采用下面介绍的两分法来解决这一问题。