LeetCode简易题解--629

这道题涉及到动态规划的知识。

动态规划有三个核心元素：最优子结构、边界、状态转移方程。

这道题的难点在于如何找出状态转移方程，实际上更多的是一个数学问题。

首先n=1时，输出值始终为0（显而易见）；k=0时，输出值始终为1（升序排列）；这是边界。

记输出为F(n, k)。

如何推导出状态转移方程呢？首先看看n从4变成5发生了什么：

因为5肯定是最大的数，所以（以下X X X X是同一序列）：

5 X X X X 产生了4个新的inverse pairs

X 5 X X X 产生了3个新的inverse pairs

X X 5 X X 产生了2个新的inverse pairs

X X X 5 X 产生了1个新的inverse pairs

X X X X 5 产生了0个新的inverse pairs

可以看到，当n增加1时，k的值增加的范围为[0, n]。因此，F(n+1, k)的值由以下几个值的和得到：

F(n, k) 当n+1放在序列末尾

F(n, k-1) 当n+1放在倒数第二个

F(n, k-2) 当n+1放在倒数第三个

…

F(n, k-n+1) 当n+1放在序列头部

因此状态转移方程为：

F(n, k) = F(n-1, k) + F(n-1, k-1) + … + F(n-1, k-n+1)

根据以上方程构建表格即可求出答案。

但是以上方法的时间复杂度为O(n * k ^ 2)，有没有更好的方法呢？

当然。

再看以上的状态转移方程，将其表示为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-2] + ..... +dp[i-1][j - i + 1]

假设i = 5：

dp[i][0] = dp[i-1][0] (creates 0 inverse pair)
dp[i][1] = dp[i-1][0] (1) + dp[i-1][1] (0)  =  dp[i][0] + dp[i-1][1]
dp[i][2] = dp[i-1][0] (2) + dp[i-1][1] (1) + dp[i-1][2] (0) = dp[i][1] + dp[i-1][2]
.
.
.
dp[i][4] = dp[i-1][0] (4) + dp[i-1][1] (3) + dp[i-1][2] (2) + dp[i-1][3] (1) + dp[i-1][4] (0)
= dp[i][3] + dp[i-1][4]

可以看出，当 j < i 时，

dp[i][j] = dp[i][j-1] +dp[i-1][j]

当 j >= i 时：

dp[i][5] = dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + dp[i-1][3] + dp[i-1][4] + dp[i-1][5]
= dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + dp[i-1][3] + dp[i-1][4]
+ dp[i-1][5] - dp[i-1][0]
= dp[i][4] + dp[i-1][5] - dp[i-1][0]
= dp[i][5] - dp[i-1][0]

同样地，可以得到

dp[i][6] = dp[i][5] + dp[i-1][6] - dp[i-1][1] = dp[i][6] - dp[i-1][1]

因此，当 j >= i 时，

dp[i][j] = dp[i][j] - dp[i-1][j-i]

此方法的时间复杂度为O(n * l)。

最后，代码为：

int kInversePairs(int n, int k) {
int mod = pow(10, 9) + 7;

vector<vector<int> > dp(n + 1, vector<int>(k + 1));
dp[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
dp[i][0] = 1;
for(int j = 1; j <= k; ++j){
dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]) % mod;
if(j - i >= 0) dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[i - 1][j - i] + mod) % mod;
}
}
return dp
[k];
}

另外，要注意对计算值取模。第10行括号内取模是为了避免减法得到负数。