Noip2011 Day2 T2 聪明的质监员 (二分+前缀和)
2017-09-12 21:11
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题目描述
小T 是一名质量监督员,最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 n 个矿石,从 1到n 逐一编号,每个矿石都有自己的重量 wi 以及价值vi 。检验矿产的流程是:1 、给定m 个区间[Li,Ri];
2 、选出一个参数 W;
3 、对于一个区间[Li,Ri],计算矿石在这个区间上的检验值Yi:
这批矿产的检验结果Y 为各个区间的检验值之和。即:Y1+Y2…+Ym
若这批矿产的检验结果与所给标准值S 相差太多,就需要再去检验另一批矿产。小T
不想费时间去检验另一批矿产,所以他想通过调整参数W 的值,让检验结果尽可能的靠近
标准值S,即使得S-Y 的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。
输入输出格式
输入格式:
输入文件qc.in 。第一行包含三个整数n,m,S,分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。
接下来的n 行,每行2个整数,中间用空格隔开,第i+1 行表示 i 号矿石的重量 wi 和价值vi。
接下来的m 行,表示区间,每行2 个整数,中间用空格隔开,第i+n+1 行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li 和Ri。注意:不同区间可能重合或相互重叠。
输出格式:
输出文件名为qc.out。输出只有一行,包含一个整数,表示所求的最小值。
输入输出样例
输入样例#1:
5 3 151 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
输出样例#1:
10说明
【输入输出样例说明】
当W 选4 的时候,三个区间上检验值分别为 20、5 、0 ,这批矿产的检验结果为 25,此时与标准值S 相差最小为10。
【数据范围】
对于10% 的数据,有 1 ≤n ,m≤10;对于30% 的数据,有 1 ≤n ,m≤500 ;
对于50% 的数据,有 1 ≤n ,m≤5,000;
对于70% 的数据,有 1 ≤n ,m≤10,000 ;
对于100%的数据,有 1 ≤n ,m≤200,000,0 < wi, vi≤10^6,0 < S≤10^12,1 ≤Li ≤Ri ≤n 。
思路
看到求各种值的最小值,首先想到的就是二分而且证明二分是可行的,证明如下:
画图可知因为S是一个常函数(水平直线),那么对于我们每次求出来的检验值
Y 与 S 关系就很清楚了
当 S-Y<0 的时候,Y越小越接近。反之则Y越大越接近
而 w 和 Y 成反比,也就是说 w 和 Y 成线性关系
那么我们只要二分 w 我们就可以得到答案了(证明结束)
但是为了保证每次 check 的时候时间复杂度之和不会TLE
我们就要用到前缀和,存 1~i 的矿石里,有多少个超过二分答案以及他们的价值和
那么我们就可以用O(n)的时间复杂度求出 Y 了
切记切记,这个题目的数据有点意思,最好全部用long long
代码
#include<cstdio> using namespace std; const int N=200005; long long n,m,maxw; long long S,ans,mina=0x7fffffffffffffff; // mina定义的是 LONG LONG_MAX long long v ,w ,sumid ,l ,r ; long long sumw ; //强烈建议一定要把所有数据类型都开成long long inline long long read() { long long sum=0; char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0') sum=sum*10+ch-48,ch=getchar(); return sum; }//读入优化 long long aaa(long long x) { if(x<0) return -x; return x; } //绝对值函数 long long maxx(long long a,long long b) { a>b?a:b; }//最大值 long long minn(long long a,long long b) { a<b?a:b; }//最小值 bool check(long long x) //二分 { long long y=0; for(int i=1;i<=n;++i) { if(w[i]>=x) { sumid[i]=sumid[i-1]+1; sumw[i]=sumw[i-1]+v[i]; } //如果是符合条件的矿石就更新 else { sumid[i]=sumid[i-1]; sumw[i]=sumw[i-1]; } //否则就和之前的矿石相同 } //前缀和求出超过的 个数 和 价值和 for(int i=1;i<=m;++i) y+=(sumid[r[i]]-sumid[l[i]-1])*(sumw[r[i]]-sumw[l[i]-1]); //求出各个区间的检验值之和 if(S-y<0) //如果 y>S 就要缩小y,即增大w { mina=minn(mina,aaa(S-y)); return 1; } else //否则就要缩小w { mina=minn(mina,aaa(S-y)); return 0; } } int main() { n=read(),m=read(),S=read(); for(int i=1;i<=n;++i) w[i]=read(),v[i]=read(),maxw=maxx(maxw,w[i]); for(int i=1;i<=m;++i) l[i]=read(),r[i]=read(); long long left=0,right=maxw,mid;//二分的边界就是 0~w最大值 while(left<=right) { mid=(left+right)/2; if(check(mid)) left=mid+1; //1的话就找更大的 w else right=mid-1; //0的话就找更小的 w } printf("%lld\n",mina); return 0; }
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