算法-旋转数组的最小数字

题目

输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3,4,5,1,2}为数组{1,2,3,4,5}的一个旋转，该数组的最小值为1。

旋转数组

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转，这本身没什么，但是如果旋转前的数组是一个排序好的递增数组，旋转数组就会有一些比较有意思的特性。



上图中是一个原数组与旋转数组，我们可以发现，旋转数组有两个排序好的子序列{3,4,5}和{1,2}，我们要找的数值1（最小值）是两个子序列的分界值，也是第二个子序列的第一个值。

二分查找

二分查找算法是个很常见的查找算法，照比与顺序查找，它的速度更快，时间复杂度可以降低到O(log2n),具体的思想是：

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。所以二分查找也叫作折半查找。

但是二分查找的使用有前提条件：

1.必须采用顺序存储结构；

2.必须按数值大小有序排列。

比如在{1,2,3,4,5}中查找4，首先数组满足二分查找的前提，那么先选定3，3<4，在右侧子表选定4，4=4，那么该数组中含有4。

二分查找应用在旋转数组的最小数字

讲道理的话，顺序数组发生了旋转已经就不满足二分查找算法的前提条件了，但是好在问题是旋转数组的最小数字，个人感觉这个理解很重要，本来二分查找满足前提条件的话适用于任意查找，而该任务只是在旋转数组中找最小，所以只有改一改二分的规则，还是可以用的。



首先让两个指针分别指向旋转数组的第一个位置（0）和最后一个位置（4），此时两个指针中间的数是5，5>3&&5>2，5比p1指向的数值（3）大，这说明中间的数值（5）在第一个子序列{3,4,5}中，那么第二个子序列一定在5的右面，最小的数字是第二个子序列的第一个数值，那么也一定在5的后面，此时为了缩小查找范围，构建子序列，就可以把p1调整到中间位置（2）：



此时两个中间的数是1，1<5&&1<2，数值1比p2指向的数值（2）小，这说明中间数值（1）在第二个子序列中，那么最小数值一定在该数值的左面或者就是它，此时为了缩小查找范围，就可以移动p2到之间位置：



p1与p2位置只差1，那么此时p2指向的那个数就是最小数。

所以，传统的二分查找算法是两个指针在确定中间值，中间值与要查找的数值比较，以决定哪个指针移动到中间值以构建子表，最终查找结束的的条件是：

1.中间值与待查找数值相等

2.子表不存在

而在这个任务中的二分查找算法为，两个指针在确定中间值，中间值与两个指针指向的数值对比，以确定哪个指针移动到中间值以构建子表，最终查找结束的条件是：

两个指针指向的位置相差为1，p2指向的数值为最小数字。

关键之处在于指针移动的规则，这与传统的二分查找目的相同，都是为了在一次查找后缩小查找范围，所以规则就是，如果中间数字比p1指向的数字大（一般情况下一定比p2指向的大），那么移动p1，如果中间数字比p2指向的小（一般情况下一定比p1指向的小），那么移动p2。因为，p1永远在指向第一个子序列，p2永远再指向第二个子序列，而第二个子序列中最大的数都会比第一个子序列最小的数还要小，所以永远在和p1比大，和p2比小！！！

鲁棒性考虑

上面的方法适用于所有的旋转数组吗？显然不是：

1.如果旋转0或数组长度的整数倍时，数组依旧是递增的，此时该方法并不适用，解决方案为，初始状态下，如果p1指向的值小于p2，那么数组必然是顺序递增的：



2.如果旋转数组第一个位置的数字，最后一个位置的数字，中间数字三者相等，该方法并不适用，此时只能顺序查找：

代码实现

int Min(int* numbers, int length)
{
if(numbers == NULL || length <= 0)
throw new std::exception("Invalid parameters");

int index1 = 0;
int index2 = length - 1;
int indexMid = index1;
while(numbers[index1] >= numbers[index2])
{
//退出判断
if(index2 - index1 == 1)
{
indexMid = index2;
//退出while
break;
}

indexMid = (index1 + index2) / 2;
if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])
return MinInOrder(numbers, index1, index2);
//比大 移动p1
if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
index1 = indexMid;
//比小  移动p2
else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
index2 = indexMid;
}

return numbers[indexMid];
}
//顺序查找
int MinInOrder(int* numbers, int index1, int index2)
{
int result = numbers[index1];
for(int i = index1 + 1; i <= index2; ++i)
{
if(result > numbers[i])
result = numbers[i];
}

return result;
}

1.上面的代码来源于剑指offer，这套代码在操作数组时并没有用指针，可能是为了中间值的选取和退出条件更方便。

2.代码如何处理数组长度是偶数的情况？

indexMid = (index1 + index2) / 2;

直接取整，最后结果是一样的，大家随便举个例子试一下就好了。