USACO-Section2.1 Sorting a Three-Valued Sequence [其他][排序][交换]

题目大意

排序是一种很频繁的计算任务。现在考虑最多只有三值的排序问题。一个实际的例子是，当我们给某项竞赛的优胜者按金银铜牌排序的时候。在这个任务中可能的值只有三种1，2和3。我们用交换的方法把他排成升序的。

写一个程序计算出，给定的一个1,2,3组成的数字序列，排成升序所需的最少交换次数。

题解

NOCOW上给出过一种思路：

题意求排序所需的最少移动次数，可以先将输入的数字排序，然后得到不同的地方

比如：

2 2 1 3 3 3 2 3 1

1 1 2 2 2 3 3 3 3

用一个组合(a,b)表示应该排序后某个位置应该是a，但之前的是b

则我们得到(1,2), (1,2), (2,1), (2,3), (2,3), (3,2), (3,1)

然后求这些组合能组成的环，结果就是所有环的长度和减去环的个数

(1,2), (2,1) —长度为2

(1,2), (2,3), (3,1) —长度为3

(2,3), (3,2) —长度为2

结果2+3+2-3=4

这个思路是没错的，但有一点需要注意，算法必须保证先消去小环，再消去大环。比如上例中完全可以出现(1,2),(2,3),(3,2),(2,3),(3,1)这样的环。多个小环的代价要小于一个大环。

上例中 (1,2),(2,3),(3,2),(2,3),(3,1) 是由 (1,2),(2,3)(3,1) 和(3,2), (2,3)组合成的。也就是说，一个5元的环，有可能是一个二元环和一个三元环组成的。一个真五元环需要交换4次，真3元环需要交换2次，一个2元环只需要交换1次，所以把它看成一个大环和多个小环是不一样的。而且多个小环的代价要小于一个大环。

长度为n的环，交换次数/元素个数=(n−1)/n所以n越小，其比值越小。所以我们需要先把小环中的数字交换，再处理更大的环。

那么怎么才能保证先消去小环，在消大环呢？

对于这一题，只有三种元素，1、2、3，所以所有可能的环的情况只有4种：

1. (1,2), (2,1)

2. (2,3), (3,2)

3. (1,3), (3,1)

4. (1,2), (2,3), (3,1) 或 (1,3), (3,2), (2,1)

我们只需要先把所有的二元环都处理完再处理三元的环就可以了。

把整个数组分成3部分，这3部分分别是排好序后1，2，3的位置。

令c[i][j] = 在第i个位置上的数字j的个数。例如

原数组：2 2 | 1 3 3 | 3 2 3 1

排序后：1 1 | 2 2 2 | 3 3 3 3

可以看出 c[1][1] = 0， c[1][2] = 2，c[1][3] = 0，…

然后就可以按照上面的方法从小到大寻找环了。

代码

/*
ID: zachery1
PROG: sort3
LANG: C++
*/
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstring>
#define N 1001
#define cout fout
#define cin fin
using namespace std;
ifstream fin("sort3.in");
ofstream fout("sort3.out");
int main()
{
int n;
int ans=0;
int a
={0};
int b[4]={0};
int c[4][4]={0};
cin >> n;
for(int i=0; i<n; i++)
{
cin >> a[i];
b[a[i]]++;
}
int k1, k2;
k1 = b[1]; k2 = b[1]+b[2];
for(int i=0; i<k1; i++) c[1][a[i]]++;
for(int i=k1; i<k2; i++) c[2][a[i]]++;
for(int i=k2; i<n; i++) c[3][a[i]]++;

while(c[1][2] && c[2][1])
{
c[1][2]--; c[2][1]--;
ans++;
}
while(c[1][3] && c[3][1])
{
c[1][3]--; c[3][1]--;
ans++;
}
while(c[2][3] && c[3][2])
{
c[2][3]--; c[3][2]--;
ans++;
}
while(c[1][2] && c[2][3] && c[3][1])
{
c[1][2]--; c[2][3]--; c[3][1]--;
ans+=2;
}
while(c[1][3] && c[3][2] && c[2][1])
{
c[1][3]--; c[3][2]--; c[2][1]--;
ans+=2;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}