USACO-Section2.2 Subset Sums [动态规划]

题目大意

对于从1到N (1 <= N <= 39) 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，每个子集合的所有数字和是相等的：

{3} 和 {1,2}

这是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数） 如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分法的子集合各数字和是相等的:

{1,6,7} 和 {2,3,4,5} {注 1+6+7=2+3+4+5}
{2,5,7} 和 {1,3,4,6}
{3,4,7} 和 {1,2,5,6}
{1,2,4,7} 和 {3,5,6}

给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。程序不能预存结果直接输出（不能打表）。

(copy form nocow)

题解

dp[i][j]表示用前i个数字组成的和为j的方案数。那么动归方程为：

dp[i][j]=⎧⎩⎨dp[i−1][j],dp[i−1][j]+dp[i−1][j−i],1,i<ji≥ji=0,j=0

当i=j时，dp[i-1][0]必须等于1，不然会漏掉只选i一个数字的情况。所以初始化的时候dp[0][0] = 1即可。

代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#define MAXN 40
#define MAXM 400
#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)
#define cin fin
#define cout fout
using namespace std;
ifstream fin("subset.in");
ofstream fout("subset.out");

typedef long long ll;
ll dp[MAXN][MAXM];

int N, M;

int main() {
cin >> N;
M = SUM(N);
if (M%2) {
cout << 0 << endl;
return 0;
}
M /= 2;
memset(dp, 0, sizeof(dp));

dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= M; j++) {
if (j < i) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-i];
//dp[i-1][0]必须等于1，不然会漏掉只选i一个数字的情况。
}
}
cout << dp
[M]/2 << endl;
}

在空间上可以做一点点微小的优化,使用一维数组。优化原理参照背包9讲详解：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#define MAXN 40
#define MAXM 400
#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)
#define cin fin
#define cout fout
using namespace std;
ifstream fin("subset.in");
ofstream fout("subset.out");

typedef long long ll;
ll dp[MAXM];

int N, M;

int main() {
cin >> N;
M = SUM(N);
if (M%2) {
cout << 0 << endl;
return 0;
}
M /= 2;
memset(dp, 0, sizeof(dp));

dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = M; j >= 0; j--) {
if (j >= i)
dp[j] = dp[j] + dp[j-i];
}
}
cout << dp[M]/2 << endl;
}