【数论】【NOIP2009】Hankson的趣味题
2017-07-09 12:36
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题目
时间限制: 3 Sec 内存限制: 64 MB题目描述
Hanks博士是BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x满足:
1. x和a0的最大公约数是a1;
2. x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的 x并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入
第一行为一个正整数n,表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除,b1能被b0整除。输出
输出共n行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。 对于每组数据:若不存在这样的x,请输出0; 若存在这样的x,请输出满足条件的x的个数;样例输入
241 1 96 288
95 1 37 1776
样例输出
62
提示
说明
第一组输入数据,x 可以是9、18、36、72、144、288,共有6 个。 第二组输入数据,x 可以是48、1776,共有2 个。数据范围
对于 50%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。 对于 100%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且n≤2000。来源
noip2009第2题思路
反正我一来就发现了时间限制3秒【狂喜】。于是我想枚举,直接暴力,结果是什么?
大写的尴尬,完美滴TLE……这种暴力产生美代码
人家好歹也是NOIP的第二题,怎么能直接暴力呢。
注意,我只是说了不能直接暴力,我可没说不能暴力。
上面说了这么多废话,现在进入正题。
我们只需要优化一下我们的枚举即可:
1.
∵gcd(x,a0)=a1
由最大公因数的定义:
设d1=x/a1,d2=a0/a1,则:
d1与d2不可能再有除1之外的公因数(否则a1就不是最大的了,它还能在乘d1和d2的公因数)
∴gcd(d1,d2)=1
即gcd(x/a1,a0/a1)=1
2.
∵lcm(x,b0)=b1
由最小公倍数的定义:
设d1=b1/x,d2=b1/b0,则:
d1与d2也不可能再有除1之外的公因数(否则b0就不是最小的了,它还能在除以d1和d2的公因数)
∴gcd(d1,d2)=1
即gcd(x/a1,a0/a1)=1
加上以上两个优化即可。
另外,是不是一定要枚举到b1呢?不用,枚举到根号b1即可,设当前枚举到的数为i,先验证i是否合法,再验证b1/i是否合法就好了~
代码
#include <cstdio> #include <cmath> int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}//求最大公因数 int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int a0,a1,b0,b1; scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1); int ans=0,m=(int)sqrt(b1+0.5); for(int i=1;i<=m;i++) if(b1%i==0) { if(i%a1==0&&gcd(i/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/i==1))//用刚才的两个式子判断i是否合法 ans++; j=b1/i;//判断b1/i是否合法 if(j%a1!=0||i==j)//如果i=j就重复了 continue; if(gcd(j/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/j)==1) ans++; } printf("%d\n",ans); } }
另外的方法
当然,除了枚举,还可以通过分解a0,a1,b0,b1的质因数得到答案,要快得多,详见此片博客:http://www.cnblogs.com/candy99/p/6011670.html相关文章推荐
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