NOIP2009 Hankson的趣味题(还真是有趣呢！)

这道题最开始的想法就没想得到100分，看到这么大的范围就知道一定有规律可循，但是对于一个我这样的数学渣来说，满分早就离我而去了，那么就来看下50分怎么去解决。首先我们可以算出的是两个数的GCD，

那么我们只需要列举a1的倍数，然后判断最大公约数是不是a1就可以了，然后并将之标记，然后再在1~b1的范围内查找到x符合x和b0的最小公倍数是b1，然后也标记，那么可以知道，当两个都标记了的时候，就++ans，然后最后输出就行了，下面是代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#pragma G++ optamize (2)
using namespace std;
long long a0,a1,b0,b1;
long long gcd(long long a,long long b) {
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int idx1=0,idx2=0;
long long maxx=-1;
vector<long long>a;
vector<long long>b;
int main() {

int n;
cin>>n;
while(n--) {
while(a.size()) {
a.pop_back();
}
while(b.size()) {
b.pop_back();
}
cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
maxx=max(maxx,a0);
maxx=max(maxx,a1);
maxx=max(maxx,b0);
maxx=max(maxx,b1);
for(long long i=1; i<=maxx; i++)
if(gcd(i,a0)==a1)
a.push_back(i);
for(long long i=1; i<=maxx; i++) {
long long k=gcd(i,b0);
if(b1==i*b0/k)
b.push_back(i);
}
int tot=0;
for(int i=0; i<a.size(); i++) {
for(int j=0; j<b.size(); j++) {
if(a[i]==b[j])
tot++;
}
}
cout<<tot<<endl;
}
}

那么正解是怎样的呢？这就要用到一个神奇的方法：

对于两个正整数a,b，设 gcd(a,b)=k，则存在gcd(a/k,b/k)=1
gcd(b1/b0,b1/x)=1
用心体会这两个式子，发现x是a1的整数倍且是b1的因子
b√1枚举b1的因子(也就是x)，如果这个数是a1的整数倍，并且满足那两个式子，ans++
gcd(x/a1,a0/a1)=1;
gcd(b1/b0,b1/x)=1;

那就是这样，在经过一系列修改，下面是最终代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
#define N 50000
#define ll long long
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,tot;
int a0,b0,a1,b1,ans;
int pri[50005];
bool mark[50005];
void getpri()
{
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])pri[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=N;j++)
{
mark[pri[j]*i]=1;
if(pri[j]%i==0)break;
}
}
}
void solve(int x)
{
int c0=0,c1=0,c2=0,c3=0;
while(a0%x==0){a0/=x;c0++;}
while(a1%x==0){a1/=x;c1++;}
while(b0%x==0){b0/=x;c2++;}
while(b1%x==0){b1/=x;c3++;}
if(c0==c1&&c2==c3)
{
if(c1<=c3)ans*=c3-c1+1;
else ans=0;
}
else if(c0!=c1&&c2!=c3&&c1!=c3)ans=0;
}
int main()
{
getpri();
n=read();
while(n--)
{
ans=1;
a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
for(int i=1;i<=tot;i++)
solve(pri[i]);
if(b1!=1)solve(b1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}