MIT线性代数学习心得其一

矩阵的乘法

假设计算AB=C，A(mn), B(np), C(mp)。

左乘（行方法）

C中的各行，是B中各行的线性组合，其系数矩阵就是A，A的每一行对应系数。

当需要对某矩阵各行进行线性组合时，采用左乘。

[1324][1−12011]=1[102010]+2[−100010]+3[010201]+4[0−10001]=[−1−12627]

右乘（列方法）

C中的各列，是A中各列的线性组合，其系数矩阵是B，B的每一列对应系数。

当需要对某矩阵各列进行线性组合时，采用右乘。

⎡⎣⎢135246⎤⎦⎥[1−121]=1⎡⎣⎢135000⎤⎦⎥+−1⎡⎣⎢246000⎤⎦⎥+2⎡⎣⎢000135⎤⎦⎥+1⎡⎣⎢000246⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−1−1−141016⎤⎦⎥

常规方法

对于Cij，其值为左矩阵的第i行和右矩阵的第j列这两个向量的点乘。因此，矩阵做乘法时，必须满足左矩阵的行数等于右矩阵的列数，即形如Amn*Bnp。

这是大家都知道的方法，就不写过程了。

列行相乘（”充气”法）

对于A中第j列乘以B中第i行的情况，可以使用行方法或者列方法，得到一个m*p的“充气”矩阵。C的结果就是这n个“充气”矩阵的简单叠加。

这里用上面右乘的例子：

⎡⎣⎢135246⎤⎦⎥[1−121]=⎡⎣⎢1352610⎤⎦⎥+⎡⎣⎢−2−4−6246⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−1−1−141016⎤⎦⎥

可以看到，虽然计算结果相同，但思路略有区别。

求逆

上面我在讲左乘和右乘两种思路的时候，把左乘的A和右乘的B作为转换矩阵来看待，那么既然A将B变成了C，那么A−1也可以将C变成B，即AA−1=I(单位矩阵)。

那么求逆，除了可以用增广矩阵(Gauss-Jordan消元法)之外，也可以用以上线性组合的思想列方程组解决。

判断逆矩阵存在的方法

不存在一个非零的向量x，使的Ax=0。

假如矩阵A视作m维的n个向量的组合，假如存在一个非零的向量x，使的Ax=0，那么必定有一个向量可以由其他向量表示，那么A永远只能表示出m-1维，或者只是m维空间里的一个超平面。