线性代数学习点(六)：二维直角坐标系下的向量表示

原文链接：http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/coordSyst/two.html

翻译过程稍有删减

在原点为O的二维直角坐标系中，向量v可表示为一个起点在原点的带箭头的线段，其终点位于点P(a, b)，如下图所示。这时，向量v可表示为一对有序数组[a, b]，其中数字a称为向量v的x轴分量，其中数字b称为向量v的y轴分量。



需要说明的是，当点P位于第一象限，a
和 b分别为包含向量v的矩形的宽和高，如上图所示。如果点P位于其它象限，则a
或 b可能为负值，因此，通常称|a|
和 |b|分别为包含向量v的矩形的宽和高.

上面所说的是用坐标系中的一个点来定义一个向量，反过来，我们也可以用向量来描述坐标系中的一个点。

对于x-y平面的任意一点P，总有一个起点位于原点，终点位于该点的向量与之对应。我们称这个向量为该点的方位向量(position vector)。于是有：

点 P(a, b)有一个位置向量 OP，其 分量为 [a, b].

一个分量为 [a, b]的向量，对应了一个点P(a, b)的方位向量P(a, b).

方位向量给出了一个点相对于坐标原点的偏离程度。在处理向量的几何问题时，用方位向量可以带来很大的方便。因为这时可以用方位向量描述直线或者平面上所有的点。

现在假定有一个向量，其起点不在原点O，而是位于点Q(c, d)，如下图所示，它的分量该如何表示呢？




它的分量仍然是包含这个向量的矩形的宽和高。在上图中，矩形的宽为a – c，高为b
– d，因此，向量PQ的分量为[a
- c, b - d]。需要说明的是，向量的分量是用终点的坐标减掉起点的坐标。
无论向量的起点终点在哪里，上述方法都适用。更严格一些，或者说更通用一些的表述是，若一个向量起点为Q(c,
d)，终点为P(a, b)，则其分量可表示为PQ =
[a - c, b - d]。

上述向量的分量描述与点的表示非常类似。这里还有另外一种表示方法，也是使用分量，但不易引起混淆。

定义两个特殊的向量 i =[1, 0]和j = [0, 1]。这两个向量的长度均为1，其方向分别位于x轴和y轴上。这两个特殊的向量称为单位向量。这时，对于任意向量v = [a, b]，可表示为单位向量数乘相加的结果：
v = ai +bj.