算法笔记:动态规划求解最长子序列问题

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

 

 

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：



回溯输出最长公共子序列过程：



 

算法分析：

由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXSIZE 100
void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int c[MAXSIZE][MAXSIZE],int b[MAXSIZE][MAXSIZE])
{
int i,j;
//首先对数组进行初始化
//即表示当一个数列为空时,最长公共子序列的长度为0
for(i=1;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
c[0][i]=0;
//m,n分别为两个序列的长度
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++){
/*c数组的取法:
1.如果对应序列上的值相同,则c数组上的值为左上角的对应值加1
2.如果不相同，则比较左边和上边的值哪一个大，选大的那个放入;
*/
/*b数组的取法,在这里我们自行规定:
1.若此位置上c数组的取值是由左上角上c数组的取值加1得到的,则标记为1;
2.若是此位置上的c数组上边大于等于下边,则标记为2;
3.若是此位置上的c数组上边小于下边,则标记为3;
*/
if(x[i-1]==y[j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}
else {c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3;}
}
}

void LCS(int i,int j,char *x,int b[MAXSIZE][MAXSIZE])
{
if(i==0||j==0) return;
if(b[i][j]==1){
LCS(i-1,j-1,x,b);
printf("%c\n",x[i-1]);
}
else if(b[i][j]==2) LCS(i-1,j,x,b);
else LCS(i,j-1,x,b);
}

int main(void)
{
char x[MAXSIZE] = {'A','B','C','B','D','A','B'};
char y[MAXSIZE] = {'B','D','C','A','B','A'};
int  b[MAXSIZE][MAXSIZE];
int  c[MAXSIZE][MAXSIZE];
int m=7, n=6;
LCSLength(m,n,x,y,c,b);
LCS(m,n,x,b);
return 0;
}