0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)

问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= { x1,
x2,…, xm}，则另一序列Z= {z1, z2,…,
zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 {i1, i2,…, ik}，使得对于所有j=1,2,…,k有
Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= {
A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1,
y2, … , yn}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y=
{B, D, C, A, B, A}。求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。

设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有：

(1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

(2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。

(3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。

递推关系：用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中，Xi={x1,x2……xi}，Yj={y1,y2……yj}。当i=0或j=0时，空序列是xi和yj的最长公共子序列。此时，c[i][j]=0；当i,j>0，xi=yj时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；当i,j>0，xi!=yj时，

c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]}，由此建立递推关系如下：



构造最优解：由以上分析可知，要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列,可以按一下方式递归进行：当xm=yn时，找出xm-1和yn-1的最长公共子序列，然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最长公共子序列。当Xm!=Yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的最长公共子序列。设数组b[i][j]记录c[i][j]的值由哪一个子问题的解得到的，从b[m]
开始，依其值在数组b中搜索，当b[i][j]=1时，表示Xi和Yj的最长公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。当b[i][j]=2时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj-1的最长公共子序列相同。当b[i][j]=3时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj-1的最长公共子序列相同。
代码如下：

//3d3-1 最长公共子序列问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int M = 7;
const int N = 6;

void output(char *s,int n);
void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b);
void LCS(int i,int j,char *x,int **b);

int main()
{
	//X={A,B,C,B,D,A,B}
	//Y={B,D,C,A,B,A}
	char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
	char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'};

	int **c = new int *[M+1];
	int **b = new int *[M+1];
	for(int i=0;i<=M;i++)  
    {  
		c[i] = new int[N+1];
		b[i] = new int[N+1];
    } 
	
	cout<<"序列X："<<endl;
	output(x,M);
	cout<<"序列Y："<<endl;
	output(y,N);

	LCSLength(M,N,x,y,c,b);

	cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M]
<<endl;
	cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl;
	LCS(M,N,x,b);
	cout<<endl;
}

void output(char *s,int n)
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cout<<s[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
}

void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b)
{
	int i,j;

	for(i=1; i<=m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for(i=1; i<=n; i++)
		c[0][i] = 0;

	for(i=1; i<=m; i++)
	{
		for(j=1; j<=n; j++)
		{
			if(x[i]==y[j])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				b[i][j]=1;
			}
			else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j];
				b[i][j]=2;
			}
			else
			{
				 c[i][j]=c[i][j-1];
				 b[i][j]=3;
			}
		}
	}
}

void LCS(int i,int j,char *x,int **b)
{
	if(i==0 || j==0)
	{
		return;
	}
	if(b[i][j]==1)
	{
		LCS(i-1,j-1,x,b);
		cout<<x[i]<<" ";
	}
	else if(b[i][j]==2)
	{
		LCS(i-1,j,x,b);
	}
	else
	{
		LCS(i,j-1,x,b);
	}
}

LCSLength函数在计算最优值时，分别迭代X，Y构造数组b,c。设数组每个元素单元计算耗费时间O(1)，则易得算法LCSLength的时间复杂度为O(mn)。在算法LCS中，依据数组b的值回溯构造最优解，每一次递归调用使i，或j减小1。从而算法的计算时间为O(m+n)。LCS的回溯构造最优解过程如下图所示:




算法的改进：对于一个具体问题，按照一般的算法设计策略设计出的算法，往往在算法的时间和空间需求上还可以改进。这种改进，通常是利用具体问题的一些特殊性。例如，在算法LCS_length和LCS中，可进一步将数组b省去。事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i][j]也只是用来指示c[i][j]究竟由哪个值确定。因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i][j]的值是由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。既然b对于算法LCS不是必要的，那么算法LCS_length便不必保存它。这一来，可节省θ(mn)的空间，而LCS_length和LCS所需要的时间分别仍然是Ο(mn)和Ο(m+n)。另外，如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求还可大大减少。事实上，在计算c[i][j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。因此，只要用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。更进一步的分析还可将空间需求减至min(m,
n)。

//3d3-2 最长公共子序列问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int M = 7;
const int N = 6;

void output(char *s,int n);
void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c);
void LCS(int i,int j,char *x,int **c);

int main()
{
	//X={A,B,C,B,D,A,B}
	//Y={B,D,C,A,B,A}
	char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
	char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'};

	int **c = new int *[M+1];
	for(int i=0;i<=M;i++)  
    {  
		c[i] = new int[N+1];
    } 
	
	cout<<"序列X："<<endl;
	output(x,M);
	cout<<"序列Y："<<endl;
	output(y,N);

	LCSLength(M,N,x,y,c);

	cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M]
<<endl;
	cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl;
	LCS(M,N,x,c);
	cout<<endl;
}

void output(char *s,int n)
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cout<<s[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
}

void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c)
{
	int i,j;

	for(i=1; i<=m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for(i=1; i<=n; i++)
		c[0][i] = 0;

	for(i=1; i<=m; i++)
	{
		for(j=1; j<=n; j++)
		{
			if(x[i]==y[j])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
			}
			else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j];
			}
			else
			{
				 c[i][j]=c[i][j-1];
			}
		}
	}
}

void LCS(int i,int j,char *x,int **c)
{
	if(i==0 || j==0)
	{
		return;
	}
	if(c[i][j]==c[i-1][j-1]+1)
	{
		LCS(i-1,j-1,x,c);
		cout<<x[i]<<" ";
	}
	else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
	{
		LCS(i-1,j,x,c);
	}
	else
	{
		LCS(i,j-1,x,c);
	}
}

运行结果如下：




从运行结果中可以看出，算法LCS回溯算法仅仅打印了其中一条最大公共子序列，如果存在多条公共子序列的情况下。怎么解决？对b[i][j]二维数组的取值添加一种可能，等于4，这代表了我们说的这种多支情况，那么回溯的时候可以根据这个信息打印更多可能的选择。你从（7,6)点开始按b[i][j]的值指示的方向回溯，把所有的路径遍历一遍，如果是能达到起点（1,1)的路径，就是LCS了，有多少条打印多少条。可是，在回溯路径的时候，如果采用一般的全搜索，会进行了很多无用功。即重复了很多，且会遍历了一些无效路径，因为这些路径最终不会到达终点(1,1)，因此加大算法复杂度和时间消耗。

博文《求所有最大公共子序列的算法实现》给出了一种"矩行搜索"的解决办法降低了算法的复杂度。算法主要是利用两个栈store,print，一个用来储存节点，一个用来打印节点。

栈的实现代码如下(文件Stack.h)：

/** 
  头文件------head file 
 */  

template <class T>
class StackNode{
    public:
        T data;
        StackNode *next;
};

template <class T>
class Stack{
    public:
        Stack(void):top(NULL){}
        bool IsEmpty(void) const{ return top==NULL;}
        void Push(const T data);
        bool Pop(T *data);
        bool Peek(T *data) const;
		StackNode<T> * GetStackNode();
    private:
        StackNode<T> *top;
};

template <class T>
StackNode<T> * Stack<T>::GetStackNode(){
	return top;
}

template <class T>
void Stack<T>::Push(const T data){
    StackNode<T> *node = new StackNode<T>();
    node->data = data;
    node->next = top;
    top = node;
}

template <class T>
bool Stack<T>::Peek(T *data) const{
    if(IsEmpty()) return false;
    *data = top->data;
    return true;
}

template <class T>
bool Stack<T>::Pop(T *data){
    if(IsEmpty()) return false;
    *data = top->data;
    StackNode<T> *node = top;
    top = top->next;
    delete(node);
    return true;
}

所有最长公共子序列问题LCS 矩阵搜索代码如下：

//3d3-3 所有最长公共子序列问题LCS 矩阵搜索
#include "stdafx.h"
#include "stack.h"
#include <iostream>
using namespace std;

typedef int **Matrix;
const int M = 7;
const int N = 6;

typedef struct _Element
{
	int lcslen;//当前节点的LCS长度
	int row;//当前节点的行坐标
	int col;//当前节点的列坐标
}Element;

void output(char *s,int n);

Element CreateElement(int nlen, int row, int col);

Matrix GreateMatrix(int row, int col);
void DeleteMatrix(Matrix p, int row);

void PrintStack(Stack<Element> *ps, char *str, int len);
void SearchE(Matrix pb, int curposx, int curposy, int &eposx, int &eposy, int ntype);

void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,Matrix pc,Matrix pb);
void LCS(char *x, Matrix pc, Matrix pb, int row, int col);//矩阵搜索回溯

int main(){
   	char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
	char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'};

	Matrix b = GreateMatrix(M, N);
	Matrix c = GreateMatrix(M, N);

	LCSLength(M,N,x,y,c,b);

	cout<<"序列X："<<endl;
	output(x,M);
	cout<<"序列Y："<<endl;
	output(y,N);

	cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M]
<<endl;
	cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl;

	LCS(x,c,b,M,N);

	DeleteMatrix(b,M);
	DeleteMatrix(c,M);

	return 0;
}

void output(char *s,int n)
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cout<<s[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
}

Element CreateElement(int nlen, int row, int col)
{
	Element ele;
	ele.lcslen = nlen;
	ele.col = col;
	ele.row = row;
	return ele;
}

Matrix GreateMatrix(int row, int col)
{
	Matrix p = new int *[row+1];
	for(int i=0;i<=row;i++)  
    {  
		p[i] = new int[col+1];
    } 
	return p;
}

void DeleteMatrix(Matrix p, int row)
{
	for(int i=0;i<=row;i++)  
    {  
		delete []p[i];
    }

	delete []p;
}

void PrintStack(Stack<Element> *s,char *str,int len)
{
	if(s == NULL || str == NULL)
		return;
	
	StackNode<Element> *sn = s->GetStackNode();

	while(sn!=NULL && sn->data.row<=len)
	{
		cout<<str[sn->data.row]<<" ";
		sn = sn->next;
	}

	cout<<endl;
}

void SearchE(Matrix pb, int curposx, int curposy, int &eposx, int &eposy, int ntype)
{
	switch(pb[curposx][curposy])
	{
	case 1:
		eposx = curposx;
		eposy = curposy;
		return;
	case 2:
		SearchE(pb, curposx-1, curposy, eposx, eposy, ntype);
		break;
	case 3:
		SearchE(pb, curposx, curposy-1, eposx, eposy, ntype);
		break;
	case 4:
		if(ntype == 0)
			//搜索e1点，如过碰到分叉点，向上继续搜索
			SearchE(pb, curposx-1, curposy, eposx, eposy, ntype);
		else
			//搜索e2点，如过碰到分叉点，向左继续搜索
			SearchE(pb, curposx, curposy-1, eposx, eposy, ntype);
		break;
	}
}

void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,Matrix pc,Matrix pb)
{
	int i,j;

	for(i=1; i<=m; i++)
		pc[i][0] = 0;
	for(i=1; i<=n; i++)
		pc[0][i] = 0;

	for(i=1; i<=m; i++)
	{
		for(j=1; j<=n; j++)
		{
			if(x[i]==y[j])
			{
				pc[i][j]=pc[i-1][j-1]+1;
				pb[i][j]=1;
			}
			else if(pc[i-1][j]>pc[i][j-1])
			{
				pc[i][j]=pc[i-1][j];
				pb[i][j]=2;
			}
			else if(pc[i-1][j]<pc[i][j-1])
			{
				 pc[i][j]=pc[i][j-1];
				 pb[i][j]=3;
			}
			else
			{
				pc[i][j] = pc[i][j-1];//由左节点或上节点转移而来
				pb[i][j] = 4;//标记为4
			}
		}
	}
}

void LCS(char *x, Matrix pc, Matrix pb, int row, int col)
{
	if(x == NULL || pc == NULL || pb == NULL)
		return;
	
	Stack<Element> store, print;//构造两个栈store，print
	Element storetop;//store栈的栈顶节点
	Element element;//临时变量
	Element virtualnode;//虚拟节点
	int ntoplen;//保存store栈顶节点的LCS长度
	int ex1,ey1,ex2,ey2;//矩形搜索的两个节点的坐标
	int i,j;

	virtualnode = CreateElement(pc[row][col]+1, row+1, col+1);

	store.Push(virtualnode);//压入虚拟节点到store

	while(!store.IsEmpty())
	{
		store.Pop(&storetop);
		if(storetop.row == 1 || storetop.col == 1)//如果是边界节点
		{
			print.Push(storetop);
			PrintStack(&print, x, row);//打印print栈里面除虚拟节点之外的所有节点
			store.Peek(&element);
			ntoplen = element.lcslen;//当前store的栈顶节点的LCS长度

			/**********弹出print栈中所有LCS长度小于等于ntoplen的节点**************/
			while(print.Peek(&element) && element.lcslen<=ntoplen)
			{
				print.Pop(&element);
			}
		}
		else
		{
			print.Push(storetop);
			SearchE(pb, storetop.row-1, storetop.col-1, ex1, ey1, 0);
			SearchE(pb, storetop.row-1, storetop.col-1, ex2, ey2, 1);/*also other value is ok*/

			if(ex1 == ex2 && ey1 ==ey2)
			{
				element = CreateElement(pc[ex1][ey1], ex1, ey1);
				store.Push(element);//压入store栈，回到步骤2
			}
			else
			{
				for(i=ex1; i<=ex2; i++)
					for(j=ey2; j<=ey1; j++)
					{
						if(pb[i][j] == 1)
						{
							element = CreateElement(pc[i][j], i, j);
							store.Push(element);
						}
					}
			}
		}

	}
}

矩形搜索LCS算法回溯路径如下：



算法LCS先构造了一个虚拟节点virtualnode，指向节点(m,n)的右下角，即(m+1,n+1),这个节点的LCS的长度假设为最大公共子序列长度+1。将虚拟节点压入栈store，然后从虚拟节点出发，当状态b[i][j]=4时，节点开始分叉，根据设置类型向上(ntype=0)、向左(ntype=1)矩形搜索查找导致公共子序列长度发生变化的节点(跳跃点)，即b[i][j]=1对应的节点压入store栈中，然后s判断store弹出元素是否已到达边界，如果没有到达，则将节点压入print栈中，如果到达边界，则打印print栈，输出其中一个最长公共序列。
运行结果如下：