lintcode longest-common-subsequence 最长公共子序列 证明

问题描述

lintcode

参考

coursera-北京大学-算法基础-动态规划（1）-几个例题

笔记

动态规划问题，同样要建表。

buff[i][j]表示以字符串A的第i位结束，以字符串B的第j位结束，的最长公共子序列。

状态转移方程：

if (A[i] == B[j])
buff[i][j] = buff[i-1][j-1] + 1;
else
buff[i][j] = max(buff[i-1][j], buff[i][j-1]);

解释：

规定：

S[i][j]的含义是<以A的第i位结尾的字符串>与<以B的第j位结尾的字符串>的最长公共子序列。S[i-1][j-1]的含义是<以A的第i-1为结尾的字符串>与<以B的第j-1位结尾的字符串>的最长公共子序列。

buff[i][j]为S[i][j]的长度。

当

A[i] == B[j]

时

显然，由于两个字符串的最后一位相同，

S[i][j]

的长度应该比

S[i-1][j-1]

大1.

当

A[i] != B[j]

时

结论是：

buff[i][j] = max(buff[i-1][j], buff[i][j-1])

证明:

显然，由于添加了一个字符，

buff[i][j]

肯定大于等于

buff[i-1][j]

，也肯定大于等于

buff[i][j-1]

。

但是，

buff[i][j]

不能同时大于

buff[i-1][j]

和

buff[i][j-1]

。

反证法：

1.1. 如果

buff[i][j] > buff[i-1][j]

，说明

S[i][j]

的最后一位是

A[i]

。（因为多了A[i]这个字符之后，最长公共子序列的长度多了1，所以多出来的这一位就是A[i]！）

1.2. 同理，如果

buff[i][j] >  buff[i][j-1]

，说明

S[i][j]

的最后一位是

B[j]

。

1.3. 那么如果

buff[i][j]

同时大于

buff[i-1][j]

和

buff[i][j-1]

，说明

S[i][j]

的最后一位既是

A[i]

，也是

B[j]

。那么

A[i]

就与

B[j]

相同了！矛盾了！所以反证出：

buff[i][j]

不能同时大于

buff[i-1][j]

和

buff[i][j-1]

现在，已经证明了，

buff[i][j]

肯定大于等于

buff[i-1][j]

，也肯定大于等于

buff[i][j-1]

，（图中绿色区域）但

buff[i][j]

不能同时大于

buff[i-1][j]

和

buff[i][j-1]

，那buff[i][j]就只能取两者的较大者了（图中红星），这样既满足”不能同时大于两者“（只大于较小者），又满足”同时大于等于两者“，（大于较小者， 等于较大者）。

代码

class Solution {
public:
/**
* @param A, B: Two strings.
* @return: The length of longest common subsequence of A and B.
*/
int longestCommonSubsequence(string A, string B) {
// write your code here
const int lena = A.size();
const int lenb = B.size();
int buff[lena+1][lenb+1];
memset(buff, 0, sizeof(buff));
for (int i = 1; i <= lena; i++)
{
for (int j = 1; j <= lenb; j++)
{
if (A[i-1] == B[j-1])
buff[i][j] = buff[i-1][j-1] + 1;
else
buff[i][j] = max(buff[i-1][j], buff[i][j-1]);
}
}
return buff[lena][lenb];
}
};