线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（2）线性方程组的解 初等方阵

第三节　线性方程组的解

一. 数学概念

根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。

1. n元齐次线性方程组 

 ；

2. n元非齐次线性方程组 

 ；

3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。

二．原理、公式和法则

定理3.1  n元齐次线性方程组 

 有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩

R(A)<n。

定理3.2  n元非齐次线性方程组 

 有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。

显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。

三. 重点、难点分析

本节的重点是会用定理3.1、3.2判定齐次线性方程组有怎样解和非齐次线性方程组有没有解。难点的如何求出方程组的解和怎样深刻理解定理3.1、3.2的证明。定理的证明虽然简单明了，但用前面已学过的许多知识，并且方法独特，不易掌握和理解。

四. 典型例题

例1 求解齐次线性方程组

  


解：对系数矩阵A施行初等行变换为行最简形矩阵：



即得与方程组同解的方程组



由此即得



令 

 ，把它写成通常的参数形式

  

  

其中 

 为任意实数，或写成向量形式

  


例2. 设有线性方程组



问 

 取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。

解：对增广矩阵B=(A，b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

      


当 

 时，R(A)= R(B)=3，方程组有唯一解；

当 

 时，R(A)=1， R(B)=2，方程组无解；

当 

 时，R(A)= R(B)=2，方程组有无限多个解，

当 

 时，

    


由此便得通解

  

  

即

     


通过上面的实例，我们可知对于齐次线性方程组，只须把它的系数矩阵化为行最简形矩阵，找出与原方程组等价的线性方程组，便能写出通解。对于非齐次线性方程组，只须把它  增广矩阵化成行列阶梯矩阵，便能根据定理3.2判断它是否有解；在有解时，把增广矩阵进一步化成最简形矩阵，从而写出它的通解。

第四节 初等方阵

一. 数学概念

定义4.1  由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。

1. 对调单位矩阵的两行(列)，得E[i，j];

2. 以数 

 乘某行或某列，得E[i(k)]  

 ;

3. 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].

4. 初等方阵均为可逆的方阵，其逆仍是同种的初等方阵。

二. 原理公式和法则

定理4.1  设A是一个 

 矩阵对A施行一次初等行变换，相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。

定理4.2  设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 

 。

推论     

 矩阵A~B的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使PAQ=B。

求逆公式

           


求 

 的公式

            

  

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧，以上面公式的推导。

四. 典型例题

例1设


 。

  解：



  

 。

利用初等行变换求可逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 

 。由



可知，若对(A|B)施行初等行变换，当把A变成E时，B就变成 

 。

例2. 求矩阵X，使AX=B，其中



解：若A可逆，则 

 .

  


因此

  

 。

本例用初等行变换的方法求得 

 ，如果要求 

 ，则可对矩阵 

 作初等列变换，使


 ，

即可得 

 。不过通常都习惯作初等行变换，那末可改为对 

 作初等行变换，使


 ，

即可得 

 ，从而求得Y。

第四节 初等方阵

一. 数学概念

定义4.1  由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。

1. 对调单位矩阵的两行(列)，得E[i，j];

2. 以数 

 乘某行或某列，得E[i(k)]  

 ;

3. 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].

4. 初等方阵均为可逆的方阵，其逆仍是同种的初等方阵。

二. 原理公式和法则

定理4.1  设A是一个 

 矩阵对A施行一次初等行变换，相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。

定理4.2  设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 

 。

推论     

 矩阵A~B的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使PAQ=B。

求逆公式

           


求 

 的公式

            

  

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧，以上面公式的推导。

四. 典型例题

例1设


 。

  解：



  

 。

利用初等行变换求可逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 

 。由



可知，若对(A|B)施行初等行变换，当把A变成E时，B就变成 

 。

例2. 求矩阵X，使AX=B，其中



解：若A可逆，则 

 .

  


因此

  

 。

本例用初等行变换的方法求得 

 ，如果要求 

 ，则可对矩阵 

 作初等列变换，使


 ，

即可得 

 。不过通常都习惯作初等行变换，那末可改为对 

 作初等行变换，使


 ，

即可得 

 ，从而求得Y。