三阶矩阵的特征值一般求解

这里先简单介绍一下，对于一个给定的三阶矩阵，相信学过线性代数的大部分同学都会求解他的特征值，但是，在解特定的题目的时候我们是否发现有一般的规律呢，下面我们就简单介绍一下（一般解的形式这里也没有给出，不过我们还是可以推导出一些东西的，所以想直接得到解的请点击Alt+F4吧）

***************************我是分解线***************************************

对于给定一个矩阵，我们可以这样理解他的特征多项式：特征多项式是对λ进行的N次关于该矩阵的修正。由这个思想，我们可以知道对于一个秩为a的n阶矩阵，该矩阵中必有n-a个值为0的特征值。当修正最小时，该矩阵的形式为对角矩阵，设对角上的值分别为a1，a2……an，则特征多项式为(λ-a1)*(λ-a2)*……*(λ-an)，特征值为对角上的各个数。

下面我们对3阶实对称矩阵讨论特征值的一般求解，设三阶实对称矩阵为：

a1,a2,a3

a2,b1,b2

a3,b2,c1

那对应的特征多项式为：



公式不好打出来，截个图，大家见谅，我们可以看到，λ的三个解基本项是a1,b1,c1，确切值为在基本项上做出的修正，这样也符合我们上文中的说法，但是这里由于分解因式较为麻烦，为了进一步说明，我们这里找2阶实对称矩阵：

a1,a2

a2,b1

他的特征值由特征多项式解出来可以得到：



我们可以看到解的形式为对a1和b1做大小为a2的修正，下面回到三阶矩阵中，观察特征多项式我们可以知道，当修正的a2,a3和b2中有两个值为0的时候，λ的其中一解可以很方便的得到，比如当a2和a3为0时，λ = a1为我们可以直接读出来的解，从这里我们可以得到什么结论呢，假设真实解是在基本解上对一个修正系数做出的修正，那个这个修正系数就与a2和a3相关（以a1为例说明）。

关于修正系数的具体值，就涉及到解上面三阶矩阵的特征多项式了，这里不再叙述。