基于特征值的斐波那契数列求解

     最近在听Gilbert Strang的现代公开课，再讲矩阵的对角化展开的应用时，提到了利用特征值求斐波那契数列的例子。斐波那契数列是以前学编程时碰到的练习，有些书甚至用递归来求这个数列（抛开学习练手层面，实际运用是时极为不合理的）。但使用线代的方求指定位置的数列值时，其计算量大大缩小。

    该方法的理论基础为

，将两端各自相乘会发现

，这意味着求矩阵的幂只需计算其特征值。接着便需要把斐波那契数列转换到线代的问题上来。斐波那契数列的简单表达就是，这个数列第0项为0，第一项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。代数表达即为

，令

,则斐波那契数列线代表达为

，为了凑成这个表达式（因为这样才能使用开始的那个公式）另外定义了一个等式

，这是恒成立的。由此可以知道，数列第n项的值为

。

    life is short 就不用c实现了，Matlab实现一分钟都不要：

function value=FS(i)
A=[1,1;
1,0];
U_0=[1;0];
[V,E]=eig(A);
value=V*(E.^(i-2))*inv(V)*U_0;