您的位置：首页 > 其它

线性代数复习一——线性代数中的线性方程组

2016-03-03 13:41 246 查看

还是从解方程组说起

一些概念:

把方程组的系数写成矩阵的形式，称为系数矩阵

把系数矩阵右边添上方程组右边的常数列称为增广矩阵

方程组有解称它相容，否则不相容

若一个矩阵可以经一系列行变换变成另一个矩阵，称两个矩阵行等价

我们在解方程的时候，进行行变换，即倍加、倍乘、对换变换，注意，这三种变换都是可逆的

对应主元列的变量称为基本变量，其他变量称为自由变量

线性方程组相容的重要条件是增广矩阵的最右列不是主元列，就是说，增广矩阵的阶梯形化简后没有形如描述的行，若线性方程组相容，则它的解集

（1）当没有自由变量时，有唯一解

（2）若至少有一个自由变量，有无穷多解。

因为不可能存在这种情况，故此时方程组不相容，若没有自由变量，则这里写图片描述为定值，有唯一解，若有自由变量，如这里写图片描述，自然就有无穷多解

矩阵方程
$Ax=b$
的理解

矩阵方程

从形式上看，我们知道
$Ax$
就是A的各列以x对应元素为权的线性组合，注意Ax仅当A的列数等于x中元素个数时才有定义！

例如
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ 3\\ 7 \end{bmatrix}$

因此我们有以下定理

$Ax=b$
有解当且仅当b是A的各列的线性组合

齐次方程
$Ax=0$
有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量

齐次方程
$Ax=0$
仅有平凡解，当且仅当矩阵A的各列线性无关

线性相关集中不一定每一个向量都是其他向量的线性组合！

若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数，那么这个向量组线性相关

若一个向量组包含零向量，则它线性相关

线性变换
$x\rightarrow Ax$

例如对于一个纵坐标不变，横坐标变为原来k倍的拉伸变换，它的变换矩阵为
$\begin{bmatrix} k &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

对于一个逆时针旋转一定角度的旋转变换，它的变换矩阵为
$\begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$

这些变换矩阵的规律是什么？我们可以这样看，对于二维情况，在上述拉伸变换中，
$\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
变换为
$\begin{bmatrix} k \\ 0 \end{bmatrix}$
，而
$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
变换为
$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
，在旋转变换中，
$\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
变换为
$\begin{bmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{bmatrix}$
，而
$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
则变为
$\begin{bmatrix} -\sin \phi \\ \cos \phi \end{bmatrix}$
，不知大家看出来了没有，这个就是最基本的规律，对于复杂的变换，只要弄清楚了
$\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$
等向量变换后的坐标，我们可以直接写出变换矩阵！

关于方程组的内容就写这么多，我们下次继续~

内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理

标签： 线性代数

相关文章推荐

新的分享

章节导航