线性代数:第一章 行列式(2)行列式按行(列)展开 克拉默法则
2016-03-03 14:31
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第三节 行列式按行(列)展开
一.数学概念
余子式和代数余子式在n阶行列式中,把元素
所在第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素
的余子式,记作
,记
,
叫做元素
的代数余子式。
二.原理,公式
引理 一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除外都为零,那么这行列式等于
与它的代数余子式的乘积。
定理3.1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
或
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
范德蒙德(Vandermonde)行列式
三.重点,难点分析
本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零,而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式,但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难,当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。
四.典型例题分析
例2.设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3,第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1,求m,k。解:这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得
即
解得
例3.计算
解:本题从表面上它不是Vandermonde行列式,但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式,将D的第1列分别乘
加到第3列,得
第四节 克拉默法则
一.数学概念
1.非齐次线性方程组其中右端的常数项
不能全为零。
2.齐次线性方程组
二.原理,公式和法则
克拉默法则设非齐次线性方程组
若方程组(1)的系数行列式
则方程组(1)有唯一解
其中
是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即
定理4.1 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0,则(1)一定有解,且解是唯一的。
定理4.1’ 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0,则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2’ 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零。
三.重点,难点分析
我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式,其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则,会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1,4.2及其逆否定理的区别,联系和应用。四.典型例题分析
例1.解线性方程组解:
于是得
例2.问
取何值时,齐次线性方程组
有非零解?
解:由定理4.2’可知,若齐次线性方程组有非零解,则上式的系数行列式D=0。而
由D=0,得
=2,
=5或
=8。不难验证,当
=2,5或8时,题给齐次线性方程组确有非零解。
本章小节
行列式的概念是基础。行列式的性质是关键。
行列式的计算是重点。
用行列式解线性方程组是目的。
from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm
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