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线性代数复习七——特征向量

2016-03-13 09:47 267 查看

定义：

$A$
为
$n\times n$
矩阵，
$x$
为非零向量，若存在数
$\lambda$
使
$Ax=\lambda x$
成立，则称
$\lambda$
为
$A$
的特征值，
$x$
称为对应于
$\lambda$
的特征向量

假设
$A$
和
$B$
是
$n\times n$
矩阵，如果存在可逆矩阵
$P$
，使得
$P^{-1}AP=B$
，则称
$A$
相似于
$B$

定理：

三角矩阵的主对角线的元素是其特征值

$\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$
是
$n\times n$
矩阵
$A$
相异的特征值，
$\nu _{1},\cdots ,\nu _{n}$
是与
$\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$
相应的特征向量，那么集合
$\begin{Bmatrix} \nu _{1}, & \cdots & ,\nu _{n} \end{Bmatrix}$
线性无关

$A$
是可逆的当且仅当0不是
$A$
的特征值

数
$\lambda$
是
$n\times n$
矩阵
$A$
的特征值的充要条件是
$\lambda$
是特征方程
$det\left ( A-\lambda I \right )=0$
的根

若
$n\times n$
矩阵
$A$
和
$B$
是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（和相同的重数）

$n\times n$
矩阵
$A$
可对角化的充分条件是
$A$
有
$n$
个线性无关的特征向量

注：

相似性和行等价不是一回事，对矩阵做行变换通常会改变矩阵的特征值

意义：

讲意义之前的一些准备工作，由于打出来不太方便，就直接拍图了，作为意义的证明（不感兴趣不需要看，直接看意义即可）

总的来说，上面的一堆图说明的就是：

你可以把矩阵
$A$
看成在我们一般选取的标准正交基下的一个变换矩阵，当然，这个矩阵可能比较复杂，可能包含旋转啊、缩放啊多种变换，但是！如果你换一个角度，选取矩阵
$A$
的特征向量作为正交基的话，那么，在这组正交基的刻画下，这个变换矩阵
$A$
只是描述了一个缩放变换，而且是在特征向量的方向上进行的放缩，其放缩的比例就是每个特征向量对应的特征值了，特征值大于1，就是放大喽，小于1，自然就是缩小了。

意义的拓展：

我们这里求的特征值，都是实数，其实，我们不妨在复数域内求解特征方程，我们自然能够得到相应的复特征值，那么这些特征值表示什么意义呢？拿简单一点的
$2\times 2$
矩阵来说吧，这里给出一个结论

设
$A$
是
$2\times 2$
实矩阵，有复特征值
$\lambda =a-bi\left ( b\neq 0 \right )$
及对应
$\mathbb{C}^{2}$
中的复特征向量
$\nu$
，那么

$A=PCP^{-1}$
,其中，
$P=\begin{bmatrix} Re\nu & Im\nu \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} a & -b\\ b& a \end{bmatrix}$

此变换为旋转和倍乘变换复合而成，逆时针旋转的角度为(0,0)到(a,b)射线的夹角，倍乘的幅值为复特征值的模。

应用这些意义，我们可以解决马尔科夫链的一些简单问题，预测未来的最终结果，应用于一些离散的动力系统，得到他们原点的属性，吸引子对应实特征值小于1（轨迹趋于0），排斥子对应实特征值大于1（轨迹远离0），鞍点对应特征值既有小于1的，也有大于1的（轨迹为马鞍形），螺线极点对应特征值为复特征值，实部为正，向外旋转，为负则向内旋转，为0的轨迹即为椭圆。

这一次的复习就到这里，下次我们继续！

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标签： 线性代数-特征值

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