hdu 1281 二分图匹配求匹配边以及增广链

转载自：  http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7109139

题目描述：

在一个N*M大小的棋盘中，有K个空位置，（1）在这些空位置上最多能放多少的“车”（一行或一列最多一个）。（2）空位置中，有的位置若不放“车”，就无法保证放尽量多的“车”，这样的格子被称做重要点，求重要点的个数

 

思考过程：

这题可以看成行与列的二分匹配问题，因为每行每列至多只能放一个棋子。第i行与j列匹配代表棋盘第ｉ行ｊ列这个位置放棋子。那么，棋盘上的点就是二分图的边；“车”的个数就是二分图的最大匹配数。题目的关键是求重要点。现假设最大匹配数为ans，且已经求出某一种匹配策略。

1 ：枚举所有可以放的点，去掉某一点后（这里的点指棋盘上的点，也就是二分图的边），就得到一个新的二分图了

　　 if  (新二分图的最大匹配数　=＝　ans）

                 then 这个点不是重要点

　　 else // 即新的二分图达不到ans这个匹配数，那么这个点就是必须放的，否则达不到ans。 -->重要边

　　          then 计数+1

2 : 但是这样枚举效率太低。实际上，删边只需考虑求出的匹配边（因为删除非匹配边得到的匹配数不变）。这样，只需删除ans条边，复杂度就降低了。

    再进一步分析，删除一条边以后，没有必要重新求删边后新的二分图的最大匹配，只需检查删边后的匹配中--->可不可以再找到新的增广链就可以了。这样，时间复杂度就进一步降到了。

3 : 这样的优化是不可取的：

    在判断是否存在增广路得时候，不能只以删除的匹配边的顶点作起点来找增广路

    正确的方法是：以删边后新的二分图的所有未匹配顶点出发做增广，都找不到增广路，匹配不能再增加

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 105;
int N, M;
bool map[MAXN][MAXN];
int xM[MAXN], yM[MAXN];
bool chk[MAXN];

bool SearchPath(int &u,bool &flag);
int MaxMatch();
bool Can();

int main()
{
int i,a,b,K,ans,Case = 0;
while(cin>>N>>M>>K)
{
//初始化
N--;M--;Case++;
memset(map,0,sizeof(map));
for (i = 0; i < K; i++)
{
cin>>a>>b;
map[--a][--b] = 1;
}
//二分匹配，求最大匹配数
ans = MaxMatch();
int tmp,num = 0;
for (int u = 0; u <= N; u++)
{
//是一条匹配边
if (xM[u] != -1)
{
//删除这条匹配边
tmp = xM[u];
xM[u] = -1;
yM[tmp] = -1;
map[u][tmp] = 0;
//是否找到新的增广路
if (!Can())num++;
//恢复这条边
xM[u] = tmp;
yM[tmp] = u;
map[u][tmp] = 1;
}
}
//输出结果
cout<<"Board "<<Case<<" have "<<num<<" important blanks for "<<ans<<" chessmen."<<endl;
}
return 0;
}
//二分匹配，求最大匹配数，这个过程类似于DFS
int MaxMatch()
{
//初始化
int u, ret = 0 ;
bool flag = true;
memset(xM, -1, sizeof (xM));
memset(yM, -1, sizeof (yM));
//对每个未匹配的顶点进行尝试匹配
for(u = 0; u <= N; u++)
{
//若顶点还没有找到匹配
if(xM[u] == -1)
{
//初始化
memset(chk, false, sizeof (chk));
//尝试匹配，若成功，计数+1
if(SearchPath(u,flag)) ret++;
}
}
return ret;
}
//尝试匹配
bool SearchPath(int &u,bool &flag)
{
int v;
for(v = 0; v <= M; v++)
{
if(map[u][v] && !chk[v])
{
chk[v] = true;
if(yM[v] == -1 || SearchPath(yM[v],flag))
{
if (flag)
{
yM[v] = u; xM[u] = v;
}
return true ;
}
}
}
return false ;
}
//是否找到新的增广路
bool Can()
{
int u;
bool flag = false;
//以对所有未匹配的顶点进行尝试匹配
for(u = 0; u <= N; u++)
{
if(xM[u] == -1)
{
memset(chk, false, sizeof (chk));
//找到一条增广路
if(SearchPath(u,flag))
return true;
}
}
return false;
}