Hdu2063—过山车 二分图最大匹配

附原题链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分区为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal
matching problem)

图的点覆盖：寻找一个点集，使得图中每一条边至少有一点在该点集中

二分图的最小点覆盖 = 最大匹配

图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在图中无对应边

一般图的最大独立集是NP完全问题

二分图的最大独立集 = 图的点数-最大匹配

图的路径覆盖：用不相交路径覆盖有向无环图的所有顶点

二分图的最小路径覆盖 = 节点数-最大匹配

增广路径与最大匹配

一条交替路径（Alternating Path）是指这样一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配 M。比如说，第一、三、五条边属于 M，而第二、四、六条不属于 M，等等。

一条增广路径（Augmenting Path）是指从 M 中没有用到的顶点开始，并从 M 中没有用到的顶点结束的交替路径。

所以如下图（3）中所示即为一条增广路径。

结合增广路径的定义和下图所示，我们可以理解以下结论：

增广路径的长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于 M。

将 M 和增广路径进行异或操作（去同存异）可以得到一个更大的匹配 M'。

M' 比 M 的匹配数多 1。

M 为 G 的最大匹配当且仅当不存在 M 的增广路径。



于是我们便找到了求二分图最大匹配的算法——匈牙利算法。

算法轮廓：

置 M 为空；

找出一条增广路径，通过异或操作获得更大的匹配 M' 代替 M；

重复步骤 2 直到找不出增广路径为止。

可是步骤 2 具体怎么实现呢？

其实，这是一个连环鸠占鹊巢的故事……

当前匹配 M 外的一点 A（就是图（2）中灰色的两个点中的任意一个），尝试连接匹配 M 中的一点 B。于是 M 中原本连接 B 的点 C 就不得不找其他点（是否在 M 内皆可）连接，甚至不惜像点 A 一样强制连接已经配对的点。如此一般像多米诺骨牌一样递推，直到寻找配对的点 C' 找到一个没有配对（即匹配 M 外）的点，或者找不到任何能与之连接的点。如果最后一个寻找匹配的点找到了一个匹配 M 外的点（如上图（3）），那么我们我们就找到了一条增广路径。

上面一段便是寻找以点 A 为首匹配 M 的增广路径的方法。注意，在寻找与某一点配对的点时，已经在这一轮寻找增广路径中被强制连接的点不能再次被强制连接，否则，就会陷入死循环。

找完以点 A 为首的增广路径，不管是否找到，都要继续寻找以其他匹配 M 外的点为首的增广路径。当 M 外没有点或以任何 M 外点为首都找不到增广路径时，M 就是图 G 的最大匹配。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int link[501];//记录当前与第i个男生连接的女生
int flag[501];//标记当前男生是否已与女生配对
int map[501][501];//记录男孩和女孩可能的配对情况
int k,num_boy,num_girl;
int DFS(int x)   //匈牙利算法 DFS实现 尝试寻找从当前女孩点为首的增广路径
{
int i;
for(i=1;i<=num_boy;i++)
{
if(flag[i]==0&&map[x][i])
{
flag[i]=1;
if(link[i]==0||DFS(link[i]))  //如果当前男生已配对，尝试寻找该配对女生的增广路径
{
link[i]=x;  //查找到新的增广路径后，建立新的匹配M'
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int i,a,b,num;
while(~scanf("%d",&k)&&k)
{
num=0;
scanf("%d%d",&num_girl,&num_boy);
memset(map,0,sizeof(map));
memset(link,0,sizeof(link));
while(k--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
map[a][b]=1;
}
for(i=1;i<=num_girl;i++)//遍历左边女生的点集，直到找不到新的增广路径为止
{
memset(flag,0,sizeof(flag));//每次查找前，清空标记，从而实现强制连接M内的点，建立新匹配M'的可能
if(DFS(i))//每个点只需DFS查找一次增广路径，若没有，则不论M变化，匹配都不会增加
num++;
}
printf("%d\n",num);
}
return 0;
}