无向图的割顶和桥

定义:

1.对于无向图，如果删除某个点u后，连通分量的数目增加，称u为图的关节点或割点。对于连通图来说，删除割点后，图将变得不再连通。

2.设 low(u) 为u及其后代所能连回的最早的祖先的pre值，当u的后代只能连回u自己时，即 low[v]>pre[u]，只需删除边 u−>v，即可让图非连通了，满足这个条件的边称为桥，也就是我们不仅知道了u是割点，还知道了u−>v是桥。

求无向图的所有割点方法:

1.尝试删除每个节点，然后dfs判断连通分量是否增加；

2.线性时间内求出所有割点；

相关定理：

1.在无向图的dfs树中，非根节点u是G的割点当且仅当u存在一个子节点v，使得v及其所有后代都没有反向边连回u的祖先。

代码:

1.无向图的dfs森林

int dfs(int u)
{
vis[u] = 1;
pre[u] = ++ord;
int d = G[u].size();
for(int i = 0;i < d;i++){
int v = G[u][i];
if(!vis[v]) dfs(v);
}
post[u] = ++ord;
}

2.求low函数及所有割顶

bool low
,iscut
;
int dfs(int u,int fa)
{
int lowu = pre[u] = ++ord;
int child = 0;
for(int i = 0;i < G[u].size();i ++){
int v = G[u][i];
if(!pre[v]){
child++;
int lowv = dfs(v,u);
lowu = min(lowu,lowv);//利用后代的low函数更新u的low函数
if(lowv >= pre[u]){
iscut[u] = 1;
}
}
else if(pre[v] < pre[u] && v != fa){
lowu = min(lowu,pre[v]);  // 利用反向边更新u的low函数
}
}
if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0;
return low[u] = lowu;
}