动态规划_DAG模型

DAG(有向无环图)上的动态规划是学习动态规划的基础。

最长路及其字典序

固定终点的最长路和最短路

【嵌套矩形问题】

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a < c,b < d或者b < c,a < d（相当于旋转X90度）。例（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

得动态转移方程：d(i)=max{d(j)+1 | (i,j)∈E}

其中E为边集。求解：

//现假设邻接矩阵已求出,存放在矩阵G中。
int dp(int i) {
int& ans = d[i];//引用,方便对于d[i][j][k][l][m]
的书写
if(ans > 0) return ans;//若已赋值,无需再次计算
ans = 1;
for(int i=0; j<=n; j++)
if(G[i][j])/*以构建DAG*/ ans = max(ans, dp(j)+1);
return ans;
//打印输出
void print_ans(int i) {
printf("%d", i);
for(int j=1; j<=n; j++)
if(G[i][j] && d[i]==d[j]+1) {
print_ans(j);
break;
}
}

【硬币问题(完全背包问题)】

n种硬币，面值分别为V1,V2,…Vn,每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。

//最长路的代码 | 【初始化】mamset(d, -1, sizeof(d)); | (有瑕疵)
int dp(int S) {
int& ans = d[S];
if(ans>=0) return ans;
ans = 0;
for(int i=0; i<=n; i++)
if(S>=V[i]) ans = max(ans, dp(S-V[i])+1);
return ans;
}
//【BUG】S不一定可到达0

//【修正】
int dp(int S) {
int& ans = d[S];
if(ans!=-1) return ans;//已赋值
ans = -(1<<30);
for(int i=0; i<=n; i++)
if(S>=V[i]) ans = max(ans, dp(S-V[i])+1);
return ans;
}
//【TIPS】用特殊值(如-1)表示"未算过",则必须将其和其他特殊值(如无解)
//区分开。求最大值时最好将初值设为"无穷小"。

//【可读性优化】用vis数组记录访问状态。用空间代价增强代码可读性，减少代码出错可能性。
int dp(int S) {
if(vis[S]) return d[S];
vis[S] = 1;
int &ans = d[S];
ans = -(1<<30);
for(int i=0; i<=n; i++)
if(S>=V[i]) ans = max(ans, dp(S-V[i])+1);
return ans;
}

【递推】注意计算顺序和边界处理

minv[0] = maxn[0] = 0;
for(int i=1; i<=S; i++) {
minv[i] = INF;
maxv[i] = -INF;
}
for(int i=1; i<=S; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
if(i>=V[j]) {
minv[i] = min(minv[i], minv[i-V[j]]+1);
maxv[i] = max(maxv[i], maxv[i-V[j]]+1);
}
printf("%d %d\n", minv[S], maxv[S]);

输出字典序最小的方案(状态的可逆)

//【递归打印】
void print_ans(int* d, int S) {
for(int i=1; i<=n; i++)
if(S>=V[i] && d[S]==d[S-V[i]]+1) {
printf("%d ", i);
print_ans(d,  S-V[i]);
break;
}
}

//【递推打印】
void print_ans(int* d, int S) {
while(S) {
printf("%d ", d[S]);
S -= V[d[S]];
}
}

for(int i=1; i<=S; i++)
for(int j=1; i<=n; j++)
if(i>=V[j]) {
if(min[i]>min[i-V[j]]+1) {
min[i]=min[i-V[j]+1;//更新min,寻找最小的min
min_coin[i]=j;//选择第j种硬币
}
if(max[i]<max[i-V[j]]+1) {
max[i]=max[i-V[j]+1;
max_coin[i]=j;
}
}
print_ans(min_coin, S);
print_ans(max_coin, S);

【对于某些不可逆的问题】

“填表法”。对于每个状态i，找到f(i)依赖的所有状态。

“刷表法”。对于每个状态i，更新f(i)所影响到的状态。