动态规划_树形DP

【树上的最大独立集】

对于一颗n个节点的无根树，输入n-1条无向边，输出一个最大独立集（选出尽量多的节点，使得任何节点均不相邻）。若有多解，则任意数出一组。

【分析】

对于无根树，为方便求解，选择其任意一节点作为根，化为有根树。

对于节点i，有两种决策，选或不选。即：

d(i)=max{ 1+∑d(j) | j∈gs(i), ∑d(j) | j∈s(i) };

【代码】

void dfs(int root)
{
for(int i=0; i<edge[root].size(); i++)//枚举子结点
if(edge[root][i] != fa[root])
{
int son = edge[root][i];
fa[son] = root;
dfs(son);
}
d[root] = max(sumC[root], sumG[p]+1);
//刷表法
if(fa[root]!=-1)
{
sumC[fa[root]] += d[root];
if(fa[fa[root]]!=-1) sumC[fa[fa[root]]] += d[root];
}
}

【树的重心/质心】

对于一颗n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该店为根的有根树时，最大子树的节点数最小。换句话说，删除这个节点后最大连通块（一定是树）的节点数最小。

【分析】

算节点个数，对于节点i：

balance = max{ d[j]+1 | j∈g(i), n - d[i] };

更新asize（最大连通块）、ans（树的质心）

【代码】

void dfs(int root)
{
int blance = 0;
for(int i = 0;i < edge[root].size();i++)
if(edge[root][i] != fa[root])
{
int son = edge[root][i];
fa[son] = root;
dfs(son);
d[root] += d[u];
blance = max(blance, d[u]+1);
}
blance = max(blance, n - d[s] - 1);
if(blance < asize || blance == asize && s < ans)
ans = s, asize = blance;
}

【树的最长路径（最远对点）】

对于一个n各节点的无根树，找到一条最长路径。换句话说，要找到两个点，使得他们的距离最远。

【分析】

方法一：(动态规划)d(i) = max {d(j)} + 1;

方法二：(两次DFS)u->w(最远距离) w->s(最远距离) s-w即为所求。