面试题09_斐波那契数列及其变种详解——剑指offer系列

题目描述：

写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。

解题思路：

这个题目很经典，但是要写好分析好与其相关的题目也不容易。后面介绍两个变形题目。

思路1：递归

递归的优点就是易于理解，代码简单。

缺点就是，执行速度慢，有大量重复计算，容易造成栈溢出

思路2：迭代

迭代方方法是用空间换时间，速度比递归快。通常情况下代码要长一点。

思路3：公式法

有一个公式，可以做到O(logn)时间复杂度

采用的方法是利用矩阵相乘，分治法。

具体可参考算法导论，里面有具体讲解。

这种方法高效，但是不太实用。

代码实现：

<span style="font-size:18px;">//递归版本
long long Fibonacci(unsigned int n)
{
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;

return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}</span>

<span style="font-size:18px;">//迭代版本
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if(n==0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
int one = 0, two = 1, ans =0;
for(int i=2; i<= n; i++)
{
ans = one + two;
one = two;
two = ans;
}
return ans;
}
};
</span>

Fibonacci类型变形问题：

1、跳台阶问题：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：这个也是一个Fibonacci数列问题。

到n级台阶有两种方式：从n-1级跳一步，从n-2级跳两步

所以：F(n) = F(n-1) + F(n-2)

初值：n==0 return 0;

n==1, return 1;

n==2, return 2;

迭代代码：

<span style="font-size:18px;">class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
int prev = 0;
int cur = 1;
for(int i=0;i<number;i++)
{
int temp = cur;
cur = cur + prev;
prev = temp;
}
return cur;
}
};
</span>

2、变态跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：到n级台阶，有（n-1 +n-2 + n-3+ ... +1）种方式。

是一个递推式，采用归纳法可得：F(n) = 2^(n-1)

直接采用公式法： f(n) = pow(2,n-1) 一行代码解决问题。

3、矩形覆盖问题

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：同样这是一个Fibonacci数列问题。

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

代码实现：

class Solution {
public:
int rectCover(int number) {
if(number == 0 || number == 1)
return 1;
if(number == 2)
return 2;
int one = 1, two = 2, ans = 0;
for(int i=3; i<= number; i++)
{
ans = one + two;
one = two;
two = ans;
}
return ans;
}
};