【线性代数】标准正交矩阵与Gram-Schmidt正交化

1、标准正交矩阵

假设矩阵Q有列向量q1,q2,...,qn表示，且其列向量满足下式：




则




若Q为方阵，由上面的式子则有




我们举例说明上述概念：

2、标准正交矩阵的好处

上面我们介绍了标准正交矩阵，那么标准正交矩阵的用处在哪？下面以两方面来说明标准正交矩阵的用处：

求解Ax=b

在前面文章《正交投影》中，有下式：



当矩阵A为标准正交矩阵Q时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：



可以发现，求x时不需要矩阵Q的逆，只需要知道转置即可，这样简化了计算。

求解投影矩阵

在前面文章《正交投影》中，投影矩阵的通式可以表示为：



当矩阵A为标准正交矩阵Q时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：



这样就将投影矩阵简单化了。

3、Gram-Schmidt正交化

任何复杂问题的求解都可以从简单的问题出发。聪明的数学家不会羞于考虑小问题，因为当最简单的情况弄得明明白白时，一般的形式就容易理解了。并且，简单的情况不仅帮我们发现一般的公式，而且还提供了一种便利的核查方法，看看我们是否犯下了愚蠢的错误。下面我们就从简单的二维情况讨论：

二维情况

假设原来的矩阵为[a,b]，a,b为线性无关的二维向量，下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵A为标准正交矩阵：

假设正交化后的矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a，那么我们的目的根据AB=I来求B。如下面的二维情况所示，B的方向与A成90度。图中还表明，B可以表示为b向量与b向量在a上的投影的误差向量。由《正交投影》中的结论可知，有如下关系成立：

三维情况

假设原来的矩阵为[a,b,c]，a,b,c为线性无关的二维向量，正交化后的矩阵为Q=[A,B,C],我们可以令A=a，则可以根据二维情况得到如下猜想：



上式显然满足AB=0,AC=0,BC=0。

下面我们用实例说明正交化的过程：
假设矩阵为[a,b]



则由二维情况的结论可知：



把具体数值代入得：



经过归一化得：



Q即是我们经过正交化后的正交矩阵。

原文：/article/1509042.html

作者：nineheadedbird