猴子选大王问题&&约瑟夫环问题

排队

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难度：1

描述周末了，软件ACM的队员准备玩玩游戏，娱乐一下，CY想了一个好主意，所有队员站成一个圈，从1开始报数，凡是报出指定数字的人要出列，有人出列后，下个人重新从1开始报数。最后一位“幸存者”要给大家表演个节目。由于队员正在不断的壮大，C小加又想知道他是否需要准备表演，请你设计个程序，帮他确定他是否是“幸存者”。

输入第一行是n，有n次游戏，第二行是m，x，表示某次游戏有m个人，指定被请出列的数字为x。其中n<100,m<1000
输出最后幸存的那位的原来的号码
样例输入

2
10 5
6 4

样例输出

3
5

//nyoj278
//数组实现
#include <stdio.h>
#define MAX 1000
int main()
{
int n, a, b, str[MAX], i, count, sum;
scanf("%d", &n);
while(n--)
{
scanf("%d%d", &a, &b);
for(i = 0; i < a; i++)
str[i] = 1;
count = b;
sum = 0;
while(count > 1)
{
count = 0;
for(i = 0; i < a; i++)
{
sum += str[i];
if(sum == b)//数数淘汰
{
sum = 0;
str[i] = 0;
}
count += str[i];为了退出while循环
}
}
for(i = 0; i < a; i++)
if(str[i] != 0)
printf("%d\n", i+1);
}
return 0;
}
//链表实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct Node
{
int data;
struct Node *next;
};
int main()
{
struct Node *head, *s, *q, *t;
int n, m, count, i, a;
scanf("%d", &a);
while(a--)
{
//  printf("input the number m:");
scanf("%d",&m);
//   printf(" input the number n:");
scanf("%d",&n);
for(i=0; i<m; i++)
{
s=(struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
s->data=i+1;
s->next=NULL;
if(i==0)
{
head=s;
q=head;
}
else
{
q->next=s;
q=s;
}
}
q->next=head;//生成环形链表
/*    printf("before:");
q=head;
while(q->next!=head)
{
printf("%d ",q->data);
q=q->next;
}
printf("%d ",q->data);*/
q=head;
count = 0;
//   printf("\n");
do{
count++;
if(count==n-1)
{
t=q->next;
q->next=t->next;
count=0;
//  printf("%d ", t->data);
free(t);//删除被淘汰的猴子
}
q=q->next;
}
while(q->next!=q);
printf("%d\n",q->data);
}
return 0;
}

下面有个非常神奇的做法，时间复杂度从o(n*m)变成了o(n)，恩，可想而知就是数学方法的改进了，好了，借鉴的别人的，我还没这么聪明，嘎嘎

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

虽然题目没有过，但是我觉得还是很神奇的啊，值得看一看

#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0, num;
// printf ("N M = ");
scanf("%d", &num);
while(num--)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("%d\n", s+1);
}
return 0;
}