第二十四周项目4-猴子选大王(约瑟夫问题)

一群猴子，编号是1，2，3 ...m，这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈。从第1只开始数，每数到第n个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。输入m和n，输出为大王的猴子是几号。

提示1：（1）链表解法：可以用一个循环的单链表来表示这一群猴子。表示结点的结构体中有两个成员：一个保存猴子的编号，一个为指向下一个人的指针，编号为m的结点再指向编号为1的结点，以此构成环形的链。当数到第n个时，该结点被删除，继续数，直到只有一个结点。（2）使用结构数组来表示循环链：结构体中设一个成员表示对应的猴子是否已经被淘汰。从第一个人未被淘汰的数起，每数到n时，将结构中的标记改为0，表示这只猴子已被淘汰。当数到数组中第m个元素后，重新从第一个数起，这样循环计数直到有m-1被淘汰。

这是一个约瑟夫问题。

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

分析：

（1）由于对于每个人只有死和活两种状态，因此可以用布朗型数组标记每个人的状态，可用true表示死，false表示活。

（2）开始时每个人都是活的，所以数组初值全部赋为false。

（3）模拟杀人过程，直到所有人都被杀死为止。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f=(f+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f。

#include <iostream>
using namespace std;
const int m = 3;
int main()
{
    int n, f = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl;
}

这个算法的时间复杂度为O(n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

笔算解决约瑟夫问题

在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，

M=2

即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。

当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，

对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t，其中t<n/2

于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1

于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：

求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1

M=3

即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。

此时要比M=2时要复杂的多

我们以N=2009为例计算

N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F（2009,3），或者可以简单的记为F（2009）

假设这种情况下还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[]表示取整，还剩下n-[n/3]个人

设这n个人为a1,a2,...,a(n-1）,an

从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1）,a(n-n mod 3+1）,..,an

于是可得：

1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3），下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1）

2、若3|n，则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3]）个人

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人

3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1个人

综合1，2，3可得：

F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，

当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3），F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1

当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1

这种算法需要计算 [log（3/2）2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了

于是：

第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，

第二圈，杀死446人，还剩下894人

第三圈，杀死298人，还剩下596人

第四圈，杀死198人，还剩下398人

第五圈，杀死132人，还剩下266人

第六圈，杀死88人，还剩下178人

第七圈，杀死59人，还剩下119人

第八圈，杀死39人，还剩下80人

第九圈，杀死26人，还剩下54人

第十圈，杀死18人，还剩36人

十一圈，杀死12人，还剩24人

十二圈，杀死8人，还剩16人

十三圈，杀死5人，还剩11人

十四圈，杀死3人，还剩8人

十五圈，杀死2人，还剩6人

F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，

然后逆推回去

F（8）=7 F（11）=7 F（16）=8 f（24）=11 f（36）=16 f（54）=23 f（80）=31 f（119）=43 f（178）=62 f（266）=89 f（398）=130

F（596）=191 F（894）=286 F（1340）=425 F（2009）=634

#include <iostream>
using namespace std;
struct Monkey
{
    int num;  //猴子的编号
    struct Monkey *next; //下一只猴子
};

int main()
{
    int m,n,i,j,king;
    Monkey *head, *p1,*p2;
    cin>>m>>n;
    if(n==1)
    {
        king=m;
    }
    else
    {
        //建立猴子围成的圆圈
        p1=p2=new Monkey;
        head = p1;
        head->num=1;
        for(i=1,p1->num=1; i<m; i++)  //其余m-1只猴子
        {
            p1=new Monkey;  //p1是新增加的
            p1->num=i+1;
            p2->next=p1;
            p2=p1;          //p2总是上一只
        }
        p2->next=head;      //最后一只再指向第一只，成了一个圆圈

        //下面要开始数了
        p1=head;
        for(i=1; i<m; i++)  //循环m-1次，淘汰m-1只猴子
        {
            //从p1开始，数n-1只就找到第n只了
            for(j=1; j<n-1; j++)  //实际先找到第n-1只，下一只将是被淘汰的
                p1=p1->next;    //围成圈的，可能再开始从第一只数，如果还未被淘汰的话

            //找到了，
            p2=p1->next;  //p2将被删除
            //cout<<"第"<<i<<"轮淘汰"<<p2->num<<endl;   //可以这样观察中间结果
            p1->next=p2->next;  //p2就这样被“架空了”
            p1=p2->next;  //下一轮数数的新起点
            delete p2;  //将不在链表中的结点放弃掉
        }
        king=p1->num;
        delete p1;
    }
    cout<<king<<endl;
    return 0;
}

运行结果：



@ Mayuko