【数论】【素数】素数相关基础——整数分解

整数分解又称质因子分解，也即将一个整数分解为几个素数相乘的形式。

整数分解师素数相关内容中很重要也很常用的部分，如何快速地将一个大整数分解掉可能会极大地影响你的程序的执行效率。

1、 朴素方法

先用筛法打出一定范围内的质数表，然后枚举质因数，最终得出结果。

这种方法对于较小的整数不失为一个方便易行的方法。

2、 Pollard-rho启发式整数分解

原理：设n为待分解的大整数，用某种方法生成a和b，计算p=gcd(a-b,n),直到p不为1或a,b出现循环时为止，若p=n，则说明n是一个素数，否则p为n的一个约数。

具体实现方法是：先生成一个较小的随机数x0，然后通过一个合适的递推式迭代出x1,x2,x3…（递推式一般选择xi=xi-1^2+c，c不取0和2），每次计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n)如果p!=1&&p!=n，那么p就是n的一个因数，并递归分解p和n/p，若p=n，则说明n是质数，直接返回n。

LL pollard_rho(LL n,LL c){
LL i=1,k=2;
LL x=rand()%n;
LL y=x;

while (1){
i++;
x=(mul_mod(x,x,n)+c)%n;
LL d=gcd(y-x,n);
if (d!=1 && d!=n) return d;
if (x==y) return n;

if (i==k){
y=x;
k+=k;
}
}

}

void find_fac(LL n){
if (miller_rabin(n)){
prime_fac[cnt++]=n;
return;
}
//判定n是否是质数，是则找到一个因子，直接返回
LL p=n;
while (p>=n) {
p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
//printf("get a p:%d\n",p);
}

find_fac(p);
find_fac(n/p);

}

Pollard-rho启发式整数分解时间复杂度还没有一个定论，一般地，可以认为大约是O(n^1/4)，但是对于那种非常大但是质因子又很少的数，效率依旧不高。

需要注意的是，由于p的产生是随机的，所以保存下来的素数只保证是n的质因子， 但不一定有序，使用时还需要根据实际情况进行统计或排序等操作。