[未完待续]［笔记］数论相关---基础

证明是什么，本蒟蒻不懂

代码统一放在最后

一．排列与组合

　PS:　1.简单规定：　0!＝1 2.收集资料仅供参考，多半摘自百度

　　1.排列

　　　—定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示（或Ｐ(n,m））［与顺序有关］

　　　—计算公式：




　　2.组合

　　　—定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示　［与顺序无关］

　　　—计算公式：


　　　—性质：


　　　—递推公式：Ｃ(m,n)=Ｃ(m-1,n-1)+Ｃ(m-1,n)

　　　—边界条件：当　m==n || n==0 时　Ｃ(m,n)==1

　　　 不存在　n>m

　　补：关于”n个球放入m个盒子m”的问题，可参考该博客

　　若是高精度，要么递推加法，要么分解质因数解决除法问题（不会有人码除法吧。。）

　

　　3.二项式定理与杨辉三角

　　
4000
　　—二项式定理：


　　　　—杨辉三角：略．．．

　　　　—关系（看看前面的组合数递推公式和性质，有什么发现～）：二项式定理的系数C(n,i)与杨辉三角一致

　　 —某些性质：二项式展开式中所有系数总和是2^n—每行杨辉三角的和为2^n

　　 （　Ｃ(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)==2^n　）

　　

二．某些数列（感觉普遍打表找规律就行了）

　　1.斐波那契数列（Fibonacci）

　　　—数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34．．．

　　　（从第0项开始，下同）

　　　—表达式：F
=F[n-1]+F[n-2]　（n>=2,F[0]=0,F[1]=1)

　　　—计算优化：矩阵乘法

　　　—相关性质：

　　　　　*将杨辉三角左对齐，将同一斜行的数加起来，即可得到数列

　　　　　—＞f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

　　　　　*gcd(f
,f[m])=f[gcd(n,m)]

　　　　　*尾数循环：

　　　　　　　一位：60

　　　　　　　两位：300

　　　　　　　三位：1500

　　　　　　　…

　　　　2.卡特兰数（Catalan）

　　　　 通常来说，多半高精

　　　　　—数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430．．．

　　　　　—计算公式：

　　　　　　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)

　　　　　　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

　　　　　　　h(n)=C(2n,n)/(n+1)［不用做除法，直接化简分解质因数即可］

　　　　　　　h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

　　　　　—应用：

　　　　　　　括号化

　　　　　　　出栈次序

　　　　　　　凸多边形三角划分

　　　　　　　给定节点组成二叉搜索树

　　　　　　　n对括号正确匹配数目

　　　　　　　…

　三．最大公约数与扩展欧几里德

　　　1.gcd

　　　　　—辗转相除法：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

　　　　　　　　　　　　当b＝＝0时　a即为所求

　　　　　—辗转相减法：(适用于高精度)

　　　　　　　* a,b均为偶数:gcd(a,b)=gcd(a/2,b/2)

　　　　　　　* a为偶数:gcd(a,b)=gcd(a/2,b)

　　　　　　　* b为偶数:gcd(a,b)=gcd(a,b/2)

　　　　　　　* 其余：gcd(a,b)=gcd(abs(a-b),min(a,b))

　　　　　　　* a==0, 则b为所求 ; b==0,则反之

　　　2.扩展欧几里德

　　　　　定义：找到一组解（x，y）满足　a *x + b *y = gcd(a,b)

　　　　　算法：同辗转相除法，只需要多加两个参数x,y并进行一下操作

　　　　　　　–b==0　x=1,b=0

　　　　　　　–b!=0 　x=y1, y=x1- a/b*y1

　　　　　简单证明：

　　　　　　　已知存在x,y满足 gcd(b,a%b)=b x+(a%b) y

　　　　　求x1,y1满足gcd(a,b)=a *x1+b *y1

　　　　　　　由gcd(b,a%b)=gcd(a,b)可知

　　　　　　　b* x+(a%b)* y=a* x1+b*y1

　　　　　　　b* x+( a-[a/b]* b)* y = a* x1+b* y1

　　　　　　　整理得到：

　　　　　　　　　a* y+b * (x-[a/b] * y)=a* x1+b * y1

　　　　　　　目测得（—-）:

　　　　　　　　　x1=y 　　y1=x-[a/b] * y

　　　　　　　PS:[ ]表示去尾整除

　　　　　应用：求乘法逆元，解不定方程解，解同余方程

　　　　　相关：对于ax + by = c,当c为gcd(a,b)倍数时才有解

　　　　　

四．同余方程，中国剩余定理与逆元

　　1.同余

　　　　定义：定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a%m与b%m的余数相同，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

　　　　PS: 满足　(a-b)为m的整数倍

　　　　性质：（a+b）%m=((a%m) +(b%m))%m

　　　　　　　（a-b）%m=((a%m) -(b%m))%m

　　　　　　　（a*b）%m=((a%m) *(b%m))%m

　　　　　　　（a^b）%m=((a%m)^b)%m

　　　　　　　　若ac=bc(mod m),且gcd(m,c)=d,则a≡b(mod m/d)

　　　　同余方程：形如　ax≡b(mod n)的方程求解x

　　　　根据性质可知: ax-b为n的整数倍，则令ax-b=ny

　　　　移项可得：　ax-ny=b { 此时即为不定方程，见扩欧 }

　　　　

　　　　这里详细考虑　ax≡1(mod n)的情况，即b=1｛此时，解称为a关于模n的逆，见下文｝．则　ax-ny=1 ｛　此时只有gcd(a,n)=1时才有解　｝

　　2.中国剩余定理（孙子定理）

　　　　初始问题描述：在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”　这不就是道小学奥数题么．．．

　　　　PS:该问题的一般解法即为＂中国剩余定理＂

　　　　数学模型：给出a与m，求x

　　　　　　x≡a1(mod m1)

　　　　　　x≡a2(mod m2)

　　　　　　x≡a3(mod m3)

　　　　　　……………….

　　　　　　x≡ak(mod mk)

　　　　只有当m1,m2,…mk两两互质时，该同余方程组有整数解，并且在模M=m1*m2… * mk下解是惟一的

　　　　解为：

　　　　　　


　　　　其中Ｍi=M/m,Mi^-1 为Ｍi模mi的逆元

　　3.乘法逆元

　　　　定义：如果ax≡1 (mod m),且gcd(a,m)=1（a与m互质），则称a关于模m的乘法逆元为x。

　　　　其实类似于倒数（在％m的条件下）：

　　　　　　若gcd(b,m)=1,则存在x使得　b*x≡1(mod m)

　　　　　　则对于　a/b % mo　可做相应简化：

　　　　　　　　a/b≡(a/b) * 1≡(a/b) * (b*x)≡a * x( mod m)

　　　　应用：简化在取模下计算除法时的不便（如计算Ｃ，可以免去高精）

　　　　方法：b * x≡1 ( mod m)

　　　　　　扩展欧几里得：b,m互质

　　　　　　欧拉函数：m不为质数

　　　　　　费马小定理:　m为质数

　　　　　　线性算法：m为质数

　　这些模板有空再补吧。。

　　　　 　　

扩展欧几里德 { ax+by=c }

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define ll long long
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout);
using namespace std;

inline ll read()
{
int k=1;
ll sum=0;
char c=getchar();
for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
if(c=='-') k=-1;
for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
sum=sum*10+c-'0';
return sum*k;
}

inline void write(ll x)
{
if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}

inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1; y=0;
return a;
}
ll d,tmp;
d=exgcd(b,a%b,x,y);

tmp=x-(a/b)*y;
x=y;
y=tmp;

return d;
}

int main()
{
ll a,b,c,d,x,y;
x=y=0;
a=read(); b=read(); c=read();
if(a<0) { a=-a; c=-c; }
d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d==0)
{
a/=d; b/=d; c/=d;
write(((c*x)%b+b)%b);
}else
printf("Impossible");
return 0;
}