【数论】【素数】素数相关基础——获得素数与判别素数

1、 暴力

根据质数的定义，枚举2..n-1，看是否能被n整除，当然，我们可以将枚举范围优化到sqrt(n)。

暴力判定素数的方法时间复杂度是O(n^1/2)

bool baoli(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
for (LL i=2;i<=sqrt(n);i++){
if (n % i ==0) return false;
}

return true;
}


暴力的方法也可以用来生成较小范围的素数表。

2、 筛选法打表

当我们需要大量用到质数，并且质数的大小有一定限制的时候，我们显然是可以通过打表的方法节省重复计算的时间的，然而打表怎么打？暴力显然是很低效的，素数的打表我们通常使用筛选法。

筛选法的基本思想是：i从2开始枚举，如果i是质数，那么显然i的整倍数就不可能是素数了，划去，如果i不是质数，显然在之前就已经被划去了。这样枚举到n后，1..n范围内的质数就被筛选出来了。

memset(prime,0,sizeof(prime));
prime[0]=prime[1]=1;

for (int i=2;i<=N;i++){
if (prime[i]==0){
for (int j=i+i;j<=N;j+=i){
prime[j]=1;
}
}
}

最终prime数组中留下来的就是素数了。

3、 Miller-Rabin素数测试

知识准备：费马小定理，如果p是质数，gcd(a,p)=1，则一定有a^(p-1)%p=1

 

Miller-Rabin的素数测试就是利用了费马小定理，假设我们现在要对p进行素数测试，对于任意一个a<p，如果不满足a^(p-1)%p=1则p一定不是素数，当然，满足了也不一定是素数。

现在我们多次随机选取a，如果每一次都有a^(p-1)%p=1，当a的数量取得越多，则p为素数的概率越大，当a随机取值50次的时候，几乎可以确定p是一个素数。

然而求幂的时候，对于大数还是会比较慢，所以有一个优化方法：

假设我们现在tmp=144，那么就把tmp不停/2，直到tmp为奇数为止，也即tmp被分解为了=2^4*9，我们只需要计算a^9，然后进行4次a^2的迭代运算即可。

bool witness(LL a,LL n){
LL tmp=n-1;
LL cnt=0;
while (tmp%2==0){
cnt++;
tmp=tmp>>1;
}

LL x=pow_mod(a,tmp,n);

if (x==1 || x==n-1) return true;
while (cnt--){
x=x*x%n;
if (x==n-1) return true;
}

return false;
}

bool miller(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
if (n%2==0) return false;

for (LL i=1;i<=50;i++){
LL a=rand()%(n-1+1)+1;
if (!witness(a,n)) return false;
}

return true;
}


这是我自己的代码，强行跑50次测试，几乎可以保证通过测试的数即为素数。
但是由于是强行跑50次，小于50的素数无法正确地通过测试。当然，对于小素数而言，暴力判别或者直接打表是更加高效的判别方法。

Miller-Rabin素数测试适合对较大的数进行素数测试。

可以改进的地方是把测试次数与被测数的大小关联起来，或者直接随机生成一个合适的次数，比如网上某个版本：

bool Witness(LL a,LL n)
{
LL m = n-1;
int j=0;
while( !(m&1) )
{
j++;
m >>= 1;
}
LL x = exp_mod(a,m,n);
if(x == 1 || x == n-1) return false; // n may be prime
while(j--)
{
// x = exp_mod(x,2,n);
x = x * x % n;
if(x == n-1) return false;
}
return true; //n must be composite
}

bool Miller_Rabin(LL n,int T=1)
{
if(n<2) return false;
if(n==2) return true;
if( !(n&1) ) return false;
while(T--)
{
LL a = rand() * (n-2) / RAND_MAX + 1; //[1,n+1]
if( Witness(a,n) ) return false;
}
return true;
}