线性代数(四十) : 正交补与正交投影

本节介绍一个与正交有关的子空间：正交补空间

1 正交补

设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间.Y是X的子空间.

定义在X中那些与Y的所有向量都正交的向量组成的空间为

Y的正交补(orthogonal complement)记做：



即对任意：

2 正交投影

(i)定理1： 

对X的任意子空间Y有：



即X中的任意向量都可以唯一的分解为：



证明：

首先我们假设上述分解不是唯一的，还有:



对照上式有：



因此y-z同时属于Y与其正交补,因此y-z与其自身正交：



因此：



下面简述分解存在性的证明：

我们首先选取Y的一组标准正交基,然后根据格拉姆-施密特方法将其扩充为X的一组标准正交基.

x可分解为：



显然,上式中：



在分解式：



中分量y称为x在y上的正交投影，记做：

3 正交投影的性质

(i)



证明：

令w是X中与x无关的任意向量且w可分解为：



由定理一得到x+w的分解式：



这就表明:



类似的还有:



证明后半部分：任取x分解为：



则



(ii) 设Y是欧几里得空间X的一个线性子空间,x是X中的向量,则在Y的全体向量z中,

向量x在Y上的正交投影与x的欧几里得距离最近

证明：

将x分解得到:



其中：



于是根据勾股定理：



显然y=z时,上式去的最小值，而：



因此定理得证.