线性代数(五十一) : 自伴随映射与二次型

从本节开始研究欧几里得空间的自伴随映射

1 自伴随映射

设A是欧几里得空间到自身的映射,若：



则称A是自伴随映射.

2 对称映射

再上边的自伴随映射中若A是实欧几里得空间上的映射.则A在标准正交系下的矩阵表示是对称矩阵，即：



称这类映射为对称映射.

3 埃尔米特映射

若A是复欧几里得空间上的映射.则A的矩阵表示是共轭对称的.即：



称这类映射为埃尔米特映射.

4 线性映射的自伴随部分

设M是欧几里得空间任意线性映射.定义M的自伴随部分为:



也就是说：

5 黑塞矩阵：

设：



是n个实变量的二阶可微实值函数.其中n个变量简记为向量x.f在a处的二阶泰勒近似为:



其中：



l(y)和q(y)分别是分别是y的线性函数和二次函数.因为线性函数都形如：



其中g是f在a处的梯度，根据泰勒定理:



二次函数q形如：



矩阵(hij)称作f的黑塞矩阵.根据泰勒定理.有：



运用矩阵和偶激励得标量积的记号将q重写为：



根据二阶可微函数混合偏导相等可知：



因此黑塞矩阵H是自伴随矩阵.

6 二次型

设a是函数f的一个稳定点.即f的梯度g在a处取值为零.泰勒公式表明：f在a点附近的行为由f的二次项决定.

而考察函数在稳定点附近的行为不仅有其几何意义.对于动态系统的研究也是十分重要的.

因此二次函数在数学中占据十分重要的位置.而对称矩阵也成为线性代数研究的一个中心问题.

二次函数也叫二次型.如上边的q就是二次型

为了研究二次函数,常用的方法是引入新的变量：



其中L是可逆矩阵.q在新变量z下的矩阵形式较原来更为简洁.