线性代数(四十五) : 线性映射的范数
2014-03-30 11:00
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本节定义衡量线性映射或者说矩阵的大小的一个概念:范数.
1 上确界
设A是欧几里得空间X到另一欧几里得空间U的线性映射.我们知道实数的任何有界子集都存在最小的上节,称为上确界
简记为sup.对于任意向量x,和线性映射A,Ax的每个分量都是x的分量的线性组合.
当向量x的长度为1的时候。Ax的长度就构成了一个有界数集.这个数集的上确界就称为矩阵A的范数.定义:
(1)式
2 矩阵范数的性质
(i)证明:
当z为0向量时显然成立
当z为单位向量时,结合定义易证.
对任意z,z=kx,其中x是单位向量.由于:
再结合z为单位向量的情形即可证明.
(ii)
根据前几节的定理:
在(1)式中令Ax=u,即可证明
(iii)
对任意标量K都有:
证明:
(iv)设A,B均为X到U的线性映射,则:
证明:
根据三角不等式对于任意x属于X有:
左端上确界为:
右端上确界之和不大于:
因此得证.
(v)设A是X到U的线性映射.C是U到V的线性映射,则:
证明:
运用性质(i)有:
再次运用性质(i):
限定x长度为1,两端分别取上确界即证.
(vi)
证明:
根据伴随的性质:
标量积是对称函数:
上式两端取上确界,根据性质(ii).即证
3 范数与可逆性
设A是有限维欧几里得空间X到其自身的可逆的线性映射.B是X到自身的另一线性映射且:则B可逆
证明:
令A-B=C 则 B=A-C B可分解为:
由于可逆映射的乘积仍可逆.因此只需证明I-s可逆.
假设I-S不可逆,则存在x不等于0使得(I-S)x=0.此时x= Sx
利用S的范数有:
由于x不等于0,因此:
在根据性质(v)有:
再根据:
因此这与上边的S范数等于1矛盾.因此I-S可逆.证毕
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