空间正交和向量投影

4个子空间：

行空间，0空间
列空间，A转置的0空间。
什么是正交向量？两个向量夹角是90度。

直角意味着：x + y 所得到的新向量 = x + y

|x|^2 + |y|^2 = |x+y|^2

怎么证明呢？

x’*x + y’*y = (x+y)’*(x+y)

= (x’+y’)*(x+y)

=x*x’ + y*y’+x’*y+x*y’

推出x‘*y=0

所以x与y垂直。

subspace，子空间。子空间正交是指，S中的任意向量与T中任意向量正交。

竖着的墙面和地面并不正交，因为他们有一条交线。两个空间如果正交，只能相交于0点。所以行空间和0空间是正交的。因为AX=0，其中A是行空间，X是0空间的向量。

而且他们的基的个数加起来恰好等于n，所以他们是互补的。

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再看两个两个向量正交的例子：





其中a和b是两个向量，x是一个数字，x*a是b在a上的投影。

可以得到a’* ( b – x * a) = 0

进而得到 a’*b – a’*x*a=0由于x是常数，所以

a’ * b = a’*a*x

两边同时乘 1/a *1/a’,注意到a和a’的顺序颠倒了。

得到x = a’*b/(a*a’)。