线性时间解决最大子数组问题

最大子数组问题又叫 maximum-subarray problem，算法导论第三版4.1节有关于其O(nlgn)运行时间的分治法描述，在4.1-5习题中要求给出线性时间的求解方法，

suppose 数组是 a1,a2,...an

naive freshman 可能会给出3n的时间复杂度，假设我已经考虑了a1,a2...ai的maximun-subarray(i)，我现在需要考虑a[i+1]了，那么我显然需要比较(a1+a2+...+ai+a[i+1])与a[i+1]以及maximun-subarray(i)，可是如果(a1+a2+...+ai)<0的话，就可以直接丢弃了，直接考虑a[i+1]；而如果(a1+a2...+ai)>0的话，就根本不用考虑a[i+1]，因为(a1+a2+...+ai+a[i+1])必然比a[i+1]大，于是时间复杂度可以降为2n

这里我给出python的代码：

def main():
A = [5,-1,3,-9,10,1]
max = max_subarray(A)
print max

def max_subarray(A):
max_ending_here = max_so_far = 0
for x in A:
max_ending_here = max(0, max_ending_here + int(x))
max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
return max_so_far

if __name__ == "__main__" : main()

值得一提的是这个线性时间算法在1985年就被CMU的大神Jon Bentley在他的神作《编程珠玑》中提出了，虽然我没读过但貌似是在第八章

但是，他比我们先想出，只不过他比我们早点出生而已