算法导论－最大子数组问题－线性时间复杂度算法分析与实现

之前写了最大子数组问题的分治法，今天把这个问题的线性时间复杂度的算法写出来。

这个方法在算法导论最大子数组问题的课后思考题里面提出来了，只是说的不够详细。

思考题如下：使用如下思想为最大子数组问题设计一个非递归的，线性时间复杂度的算法。从数组左边界开始，由左至右处理，记录到目前为止已经处理过的最大子数组。若已知A[1...j]的最大子数组，基于如下性质将解扩展为A[1...j+1]的最大子数组：A[1...j+1]的最大子数组要么是A[1...j]的最大子数组，要么是某个子数组A[i...j+1](1<=i<=j+1)。在已知A[1...j]的最大子数组的情况下，可以在线性时间内找出形如A[i..j+1]的最大子数组

思考题里面已经把基本思想说的很清楚了，只是

“在已知A[1...j]的最大子数组的情况下，可以在线性时间内找出形如A[i..j+1]的最大子数组”

这句话里面描述的方法没有说出来.这里我先把我的结论说出来，接下来再证明。

结论：在已知A[1...j]的最大子数组的情况下（假设A[1..j]的最大子数组是A[k...l]），找出A[i..j+1](1<=i<=j+1)的最大子数组是如下三个子数组中的最大和
1.A[k...l]
2.A[k...j+1]
3.max{A[x...j+1] | x为k + 2 至 j + 1}

也就是说，如果新的最大子数组不是原来的最大子数组，那么新的最大子数组的终点必然是j+1.这个是显而易见的。
假设新的最大子数组不是原来的，那么起点是哪里呢？
1.起点不可能小于k。因为如果小于k，那么说明有A[x...j+1]>A[k...j+1]（x<k)，即存在A[x...k-1]>0，这显然是不可能的。
2.起点不可能大于k小于等于l。因为如果那样的话，说明有A[x...j+1]>A[k...j+1]（k<x<=l），即A[k...x-1]<0，即最大子数组的起点到它中间某个点小于0，这是不可能的。
3.起点不可能位于j + 1，因为j+1必然小于0。

所以算法很容易就得出来了。

下面是这个问题的java实现。我没做多少测试，有错误的话请指正。

public class FindMaxSubIntArray {
public static class Result {
int max;
int start;
int end;
}

public static Result findMaxSubIntArray(int[] a) {
if (a == null || a.length < 1)
return null;
Result res = new Result();
res.max = a[0];
res.start = 0;
res.end = 0;
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
int max1 = a[i];//max1求的是上述三个子数组中的第二个
int max2 = a[i];//max2求的是上述有一个子数组的第三个
int max2_start = i;
for (int j = i - 1; j > res.end; j--) {//这里之所以求到res.end，没有避开res.end+1，是想要让max1加上res.end+1处的值
max1 += a[j];
if (max2 + a[j] > max2) {
max2 += a[j];
max2_start = j;
}
}
max1 += res.max;
if (max1 >= res.max && max1 >= max2) {
res.max = max1;
res.end = i;
}
if (max2 >= max1 && max2 >= res.max) {
res.max = max2;
res.start = max2_start;
res.end = i;
}
}
return res;
}

/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] a = { 1,-2,4,-6,6,-2,-8 };
Result res = findMaxSubIntArray(a);
System.out.println(res.start + " " + res.end + " " + res.max);
}

}