C++解决最大子列和问题，算法时间复杂度优化

程序媛决定先学学数据结构，从算法复杂度入门啦~

问题描述很简单，对于给定的整数A1，A2,.......An(可能有负数)，求Ak+A2+........+Aj的最大值（k=<j=<n），ji就是找出这一串数的和最大非空连续子数组。(为了方便起见，如果所有的整数均为负数，则最大的子序列和为0)。

      算法1：穷举算法：

//计算并返回所最大子序列的和：穷举遍历
int maxSubSum1(const vector<int> & a)
{
//用来存储最大子序列的和
int maxSum = 0;
//i标记子序列的左边界
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
{
//j标记子序列的右边界
for (int j = i; j < a.size(); j++)
{
//用来存储当前序列的求和结果
int thisSum = 0;
//将子序列的值依次加入求和结果
for (int k = i; k <= j; k++)
{
thisSum += a[k];
}
//存储两者的最大值
if(thisSum > maxSum)
maxSum = thisSum;
}
}
return maxSum;
}

这种算法的时间复杂度为O(N3).（立方）

算法2：穷举优化，可以省去第三重循环，算法复杂度为O(N2)。（平方）

//计算并返回所最大子序列的和：穷举优化
int maxSubSum2(const vector<int> & a)
{
//用来存储最大子序列的和
int maxSum = 0;
//i标记子序列的左边界
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
{
//用来存储当前子序列的求和结果
int thisSum = 0;
//j标记子序列的右边界
for (int j = i; j < a.size(); j++)
{
//将子序列的值加入上次求和结果
thisSum += a[j];
//存储两者的最大值
if(thisSum > maxSum)
maxSum = thisSum;
}
}
return maxSum;
}

算法3：分而治之

分而治之，顾名思义分为两个部分

分：把大问题分成大致相等的两个子问题，然后递归的进行求解。
治：把两个子问题的解合并到一起并再做少量的附加工作。
在最大子序列和的问题里，最大子序列的和可能出现在三个地方：整个出现在输入数据的左半部
整个输入数据的右半部
横跨左右两个部分
对于前两种可以递归求解，对于第三种，可以把左右两个部分的和分别求出，然后加在一起。

算法复杂度为O(NlogN)。

/计算并返回所最大子序列的和：分而治之
int maxSubSum3(const vector<int> & a,int left,int right)
{
//基础情况：单个元素。直接返回这个数值或者0
if(left == right)
{
return a[left];
}
//获取中点
int center = (left + right) / 2;
/* 整个出现在输入数据的左半部的最大子序列求和 */
int leftMaxSum = maxSubSum3(a,left,center);
/* 整个出现在输入数据的右半部的最大子序列求和 */
int rightMaxSum = maxSubSum3(a,center+1,right);
//计算左右两个子序列求和结果的最大值
int lrMaxSum = max(leftMaxSum,rightMaxSum);
/* 横跨左右两个部分的最大子序列求和 */
//从center向左处理左半边
int maxLeftSum = 0;
int leftSum = 0;
for (int i = center; i >= left; i--)
{
leftSum += a[i];
maxLeftSum = max(maxLeftSum,leftSum);
}
//从center向右处理右半边
int maxRightSum = 0;
int rightSum = 0;
for (int j = center+1; j <= right; j++)
{
rightSum += a[j];
maxRightSum = max(maxRightSum,rightSum);
}
//返回求和和前面算出结果的最大值
return max( lrMaxSum, maxLeftSum+maxRightSum);
}

算法4,：及时处理

//计算并返回所最大子序列的和：最优算法
int maxSubSum4(const vector<int> & a)
{
//最终结果
int maxSum = 0;
//当前求和
int nowSum = 0;

//遍历序列的所有元素
for (int j = 0; j < a.size(); j++)
{
//将当前元素添加到结果中
nowSum += a[j];

//如果大于最大值，则存储为新的最大值
if(nowSum > maxSum)
maxSum = nowSum;
else if(nowSum < 0)
nowSum = 0;
}

return maxSum;
}

算法复杂度为O(N)。

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