数字三角形问题--动态规划练习(1)
2012-11-07 11:04
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问题描述:
给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。
对于给定的由n行数字组成的数字三角形,编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。
输入
输入的第1行是数字三角形的行数n,1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间。
输出
输出到的第1行中的数是计算出的最大值。
分析:
利用动态规划的基本步骤来分析,首先找出最优解结构,l[i]表示1到i层路径的最优解,则l[i-1]亦为最优解(证明:如果l[i-1]不为最优解,则1到i-1层有另外一条路径使得l[i-1]为最优解,这样就会致使l[i]路径不为最优解,矛盾)。最优解结构:
这里用一位数组存储数字三角形。
伪代码:
l[i]: 1到i层的最优解
l[1] = a[1]
for i<-2 to n
for j<-1 to i
l[i] = 0
if l[i] < a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]
l[i] = a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]
output l
给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。
对于给定的由n行数字组成的数字三角形,编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。
输入
输入的第1行是数字三角形的行数n,1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间。
输出
输出到的第1行中的数是计算出的最大值。
分析:
利用动态规划的基本步骤来分析,首先找出最优解结构,l[i]表示1到i层路径的最优解,则l[i-1]亦为最优解(证明:如果l[i-1]不为最优解,则1到i-1层有另外一条路径使得l[i-1]为最优解,这样就会致使l[i]路径不为最优解,矛盾)。最优解结构:
这里用一位数组存储数字三角形。
伪代码:
l[i]: 1到i层的最优解
l[1] = a[1]
for i<-2 to n
for j<-1 to i
l[i] = 0
if l[i] < a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]
l[i] = a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]
output l
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