DP之最长上升子序列O(n*logn)算法

举着见过的例子要说明吧！

假设一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5.下面慢慢的一步一步的找出它的LIS.

我们定义一个了序列为B,然后用i从1到9慢慢的考察。另外再定义一个len来记录当前的最长序列的长度

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字为2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2，这时Len=1，

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解，是吧。这时Len=1。接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2]
= 1, 5，Len＝2。再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2]
= 1, 3，Len = 2。继续，

d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3.

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

上面例子的代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)
{
int left=0,right=len,mid=(right+left)/2;
while(left<=right)
{
if(n>a[mid])
left=mid+1;
else if(n<a[mid])
right=mid-1;
else
return mid;
mid=(right+left)/2;
}
return left;
}
int main()
{
int c[100],i,j,len;
int a[9]={2 ,1 ,5 ,3 ,6 ,4 ,8 ,9 ,7};
c[0]=-1;
c[1]=a[0];
len=1;
for(i=0;i<9;i++)
{
j=find(c,len,a[i]);
c[j]=a[i];
if(j>len)
len=j;
}
cout<<len<<endl;
return 0;
}