POJ 1284 Primitive Roots （原根，欧拉函数）

转自：/article/7021198.html

/**************************************************************************************************/

题意：

就是给出一个奇素数，求出他的原根的个数。

定义：n的原根x满足条件0<x<n,并且有集合{ (xi mod n) | 1 <= i <=n-1 } 和集合{ 1, ..., n-1 }相等

定理：如果p有原根，则它恰有φ(φ(p))个不同的原根，p为素数，当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根

对于给出的素数p,

首先要明确一点：p的元根必然是存在的(这一点已由Euler证明，此处不再赘述)，因此，不妨设其中的一个元根是a0(1<=a0<=p-1)

按照题目的定义，a0^i(1<=i<=p-1) mod p的值是各不相同的，再由p是素数，联系Fermat小定理可知：q^(p-1) mod p=1;(1<=q<=p-1)(这个在下面有用)

下面证明,如果b是p的一个异于a的元根，不妨令b与a0^t关于p同余，那么必然有gcd(t,p-1)=1,亦即t与p-1互质;反之亦然;

证明：

若d=gcd(t,p-1)>1,令t=k1*d,p-1=k2*d,则由Fermat可知

(a0^(k1*d))^k2 mod p=(a0^(k2*d))^(k1) mod p=(a0^(p-1))^(k1) mod p=1

再由b=a0^t (mod p)，结合上面的式子可知：

(a0^(k1*d))^k2 mod n=b^k2 mod p=1;

然而b^0 mod p=1,所以b^0=b^k2 (mod p),所以b^i mod p的循环节=k2<p-1，因此这样的b不是元根；

再证，若d=gcd(t,p-1)=1,即t与p-1互质，那么b必然是元根；

否则假设存在1<=j<i<=p-1，使得b^j=b^i (mod p),即a0^(j*t)=a0^(i*t) (mod p),由a0是元根，即a0的循环节长度是(p-1)可知，(p-1) | (i*t-j*t)->(p-1) | t*(i-j),由于p与

t互质，所以(p-1) | (i-j),但是根据假设,0<i-j<p-1,得出矛盾，结论得证；

由上面的两个证明可知b=a0^t (mod p)，是一个元根的充要条件是t与p-1互质，所有的这些t的总个数就是Phi(p-1);

/*******************************************************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<algorithm>
using namespace std;

int Euler ( int n )
{
int i, ret = n;
for ( i = 2; i * i <= n; i++ )
{
if ( n % i == 0 )
{
n /= i;
ret = ret - ret / i;
while ( n % i == 0 )
n = n / i;
}
}
if ( n > 1 )
ret = ret - ret / n;
return ret;
}

int main()
{
int p;
while ( scanf("%d",&p) != EOF )
printf("%d\n",Euler(p-1));
return 0;
}