一道印度数学游戏题

印度是一个佛教盛行的国家，佛教文化渗透到科学与人文的各个领域，当然也渗透到数学之中.印度有一些数学游戏，风格极为特殊，它渗透着佛心禅理，但却又以现代数学为背景，游戏的操作也简单易行，连低年级的小学生也都会做.

下面我们来看一道名为《六道轮回》的数学游戏题：

游戏由7人进行，第一人在纸条上随便写一个数，除了0和1不能写之外，其他的数都可以.写的时候不能让别人看见，写好之后，把条子交给第二人.第二人收到
条子以后，即把它改写为它的倒数，例如，第一人交给他的纸条写的是λ（λ≠0，λ≠1）就把它改写为1/λ，然后把它写在自己的条子上，交给第三人.

第三人收到条子以后，即用1减去纸条上的数字，例如，第二人传过来的数是1/λ，他就把它改写成1-1/λ，也写在自己准备好的条子上，交给第四人.

以后都依此办理，总之，第二、第四、第六人都把条子上的数改为它的倒数，第三、第五、第七人都用1减去条子上的数.周而复始，像走马灯一样，条子从游戏者手中不停地传递着，会出现什么样的结果呢？

今天是11月23日，第一个人随便写了一个23/11.

72第二个人把它变成了11/23.

第三个人又把它变成了1-11/23=12/23.

第四个人又把它变成了23/12.

第五个人又把它变成了1-23/12=-11/12.

第六个人再取倒数，把它变成了-12/11.

第七个人又把它变成1-（-12/11）=23/11.

你说奇怪不奇怪，当第七个人把纸条交给第一个时，第一个人仍旧得到他最初写的数.这是偶然的巧合，还是隐藏着一条什么规律呢？不妨再试试看，结果仍然是一样的.

原来这里的变换是有规律的：设第一个人写的数是λ（λ≠0，λ≠1），那么

第二个人写的数变成1/λ；

第三个人写的数变成1-1/λ=λ-1/λ；

第四个人写的数变成λ/λ-1；

第五个人写的数变成1-λ/λ-1= -1/λ-1=1/1-λ；

第六个人写的数变成1-λ；

第七个人写的数变成1-（1-λ）=λ.

可见，大家将数变来变去，不外乎是在下面六个数里循环：λ，1/λ，λ-1/λ，λ/λ-1，1/1-λ，1-λ.

这个游戏中的六个数字，好比六种不同的状态，转来转去，周而复始，永远摆脱不了.这正是佛教教义中有名的“六道轮回”73学说，它反映了佛教的永远循环的宇宙观.

“六道轮回”的学说，出自佛教《楞严经》，六道，佛教教义指地狱道、饿鬼道、畜生道、修罗道、人道和天道.根据佛教轮回的说法，人都要在这六道中轮回.可见，这个数学游戏，渗透了佛教的思想.

必须指出的是，这个数学游戏，除了充满佛教文化的影响之外，还具有现代数学的背景.它与射影几何学中的基本概念“交比”有关.

这个游戏虽然带有佛教文化的烙印，但它却充分体现了数学的循环美.

我国古代典籍中也有类似的数学美.古老的儒家经典《周易》的《复卦》中有“七日来复”的话，其意是说，什么事情过去以后，不需太长的时间又会反复，以“七
日”为循环.其实，将分数1、7分别乘以1，2，3，4，5，6后，把它们展开成循环小数，其循环节都由相同的六个数字1，2，4，5，7，8组成，只是
排列顺序不同而已：

1/7=0.142857142857……；

2/7=0.285714285714……；

3/7=0.428571428571……；

4/7=0.571428571428……；

5/7=0.714285714285……；

6/7=0.857142857142…….

六个分数的循环状态，既反映了“七日来复”的哲理，也表现出一种令人不可思议的循环之美.