【一道数学题】从(0,0)点经过(x,y)点到达(a,b)点的最短路径有多少条

如上图的题目，其中的A视为原点，X和B可以推广到任意坐标。计算代码如下：

public static void main(String[] args) {
deal(4, 4, 2, 1);
}

/*
* (maxX,maxY) 终点坐标
* (targetX,gargetY) 路经点坐标
*/
public static void deal(int maxX, int maxY, int targetX, int targetY) {
List<int[]> coords = new ArrayList<>(); // 保存每一步的结果集（路径）
List<int[]> temp = new ArrayList<>(); // 保存每一步的起点集
coords.add(new int[] { 0, 0, 0 }); // 数组元素([0],[1])代表坐标；[2]为标记，0表示当前路径没有经过路经点，1表示当前路径经过路经点
for (int i = 0; i < maxX + maxY; i++) { // 可理解为从(0,0)点到(maxX,maxY)点，每次沿X或Y方向前进一步，一共需前进 maxX+maxY 步
temp.clear();
temp.addAll(coords); // 将上一步的结果集作为当前步的起点集
coords.clear();
for (int[] arr : temp) { // 遍历当前步的起点集
if (arr[0] == targetX && arr[1] == targetY) {
arr[2] = 1; // 当前路径经过路经点，将标记更改为1
}
if (arr[0] < maxX && arr[1] < maxY) {
// X轴及Y轴方向均未到达目标位置，当前步可以在X轴或Y轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1], arr[2] });
coords.add(new int[] { arr[0], arr[1] + 1, arr[2] });
} else if (arr[0] < maxX) {
// Y轴方向已到达目标位置，X轴方向未到达目标位置，当前步只能在X轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1], arr[2] });
} else if (arr[1] < maxY) {
// X轴方向已到达目标位置，Y轴方向未到达目标位置，当前步只能在Y轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1], arr[2] });
}
}
}
// coords为所有路径的集合，其中标记为1的路径经过路经点
int counter = 0;
for (int[] arr : coords) {
if (arr[2] == 1) {
counter++;
}
}
System.out.println("总路径：" + coords.size() + "，经过(" + targetX + "," + targetY + ")点：" + counter);
}

事实上，从A经过X到达B的路径等价于A到X的路径和X到B的路径的组合，所以这个问题的本质是一个组合问题，即从原点到任意坐标的最短路程路径数。代码如下：

public static void main(String[] args) {
System.out.println("总路径：" + deal(4, 4) + "，经过(" + 2 + "," + 1 + ")点：" + deal(2, 1) * deal(4 - 2, 4 - 1));
}

/*
* (maxX,maxY) 终点坐标
*/
public static int deal(int maxX, int maxY) {
List<int[]> coords = new ArrayList<>(); // 保存每一步的结果集（路径）
List<int[]> temp = new ArrayList<>(); // 保存每一步的起点集
coords.add(new int[] { 0, 0});
for (int i = 0; i < maxX + maxY; i++) {
temp.clear();
temp.addAll(coords); // 将上一步的结果集作为当前步的起点集
coords.clear();
for (int[] arr : temp) {
if (arr[0] < maxX && arr[1] < maxY) {
// X轴及Y轴方向均未到达目标位置，当前步可以在X轴或Y轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1]});
coords.add(new int[] { arr[0], arr[1] + 1});
} else if (arr[0] < maxX) {
// Y轴方向已到达目标位置，X轴方向未到达目标位置，当前步只能在X轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1]});
} else if (arr[1] < maxY) {
// X轴方向已到达目标位置，Y轴方向未到达目标位置，当前步只能在Y轴方向移动
coords.add(new int[] { arr[0] + 1, arr[1]});
}
}
}
// coords为所有路径的集合
return coords.size();
}