跳马问题(骑士周游问题)初探
2007-09-10 16:00
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跳马问题也称为骑士周游问题,是算法设计中的经典问题。其一般的问题描述是:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
此题实际上是一个汉密尔顿通路问题,可以描述为:
在一个8×8的方格棋盘中,按照国际象棋中马的行走规则从棋盘上的某一方格出发,开始在棋盘上周游,如果能不重复地走遍棋盘上的每一个方格,
这样的一条周游路线在数学上被称为国际象棋盘上马的哈密尔顿链。请你设计一个程序,从键盘输入一个起始方格的坐标,由计算机自动寻找并打印
出国际象棋盘上马的哈密尔顿链。
能够想到的思路是用回溯,马在每一个点最多有8种跳法,遍历所有这8种可能的跳法即可得到结果。这是回溯算法中的子集树的类型,与典型的子集树问题类型不同的是,这里每一枝有8种可能的选择,而典型的子集树问题只有0,1两种选择。
下面是该算法的实现:
/**//*
* File: KnightTravel1.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法,马每一步至多有8种跳法,遍历这8种跳法,得到结果。这是一个子集树的回溯问题,每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N,则时间复杂度为O(8^(N * N)),当N = 8时,算法很慢。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int p = 0;
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
void BackTrace(int t, int x, int y)
...{
if (t >= N * N)
...{
p++;
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
exit(1);
//return;
}
else
...{
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
x += Jump[i][0];
y += Jump[i][1];
chess[x][y] = t + 1;
step[t] = i;
BackTrace(t + 1, x, y);
chess[x][y] = 0;
x -= Jump[i][0];
y -= Jump[i][1];
}
}
}
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d ", p);
}
上述简单回溯算法的时间复杂度是O(8^(N * N)),因为每次都按照Jump定义的顺序遍历,因此在算某些点的时候会很慢。
可以考虑采用启发式的遍历规则:即向前看两步,当每准备跳一步时,设准备跳到(x, y)点,计算(x, y)这一点可能往几个方向跳(即向前看两步),将这个数目设为(x, y)点的权值,将所 有可能的(x, y)按权值排序,从最小的开始,循环遍历所有可能的(x, y),回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径,算出一个可行 的结果很快,但在要算出所有可能结果时,仍然很慢,因为时间复杂度本质上并没有改变,仍为O(8^(N * N))。下面是实现这一思想的代码:
/**//*
* File: KnightTravel2.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法,马每一步至多有8种跳法,遍历这8种跳法,得到结果。这是一个子集树的回溯问题,每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N,则时间复杂度为O(8^(N * N)),当N = 8时,算法很慢。
优化:当每准备跳一步时,设准备跳到(x, y)点,计算(x, y)这一点可能往几个方向跳(即向前看两步),将这个数目设为(x, y)点的权值,将所 有可能的(x, y)按权值排序,从最小的开始,循环遍历所有可能的(x, y),回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径,算出一个可行 的结果很快,但当N = 8时,要计算所有可能的结果仍然很慢,原因是结果太多了。BackTrace()函数实现了这种思想。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int p = 0;
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
int weightStep(int x, int y)
...{
int count = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}
void inssort(int a[], int b[], int n)
...{
if (n <= 0) return;
for (int i = 0; i < n; ++i)
...{
for (int j = i; j > 0; --j)
...{
if (a[j] < a[j - 1])
...{
int temp = a[j - 1];
a[j - 1] = a[j];
a[j] = temp;
temp = b[j - 1];
b[j - 1] = b[j];
b[j] = temp;
}
}
}
}
void BackTrace(int t, int x, int y)
...{
if (t >= N * N)
...{
p++;
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
exit(1);
//return;
}
else
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
count[k] = weightStep(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]);
possibleSteps[k++] = i;
}
}
inssort(count, possibleSteps, k);
for (int i = 0; i < k; ++i)
...{
int d = possibleSteps[i];
x += Jump[d][0];
y += Jump[d][1];
chess[x][y] = t + 1;
step[t] = d;
BackTrace(t + 1, x, y);
chess[x][y] = 0;
x -= Jump[d][0];
y -= Jump[d][1];
}
}
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d ", p);
}
另外,在查阅和搜索骑士问题的资料时,看到很多朋友说可以使用贪心算法,现在做一个验证看贪心法到底对不对:在只需要一个可行结果时,用贪心算法来替代回溯算法,对KnightTravel2稍做一下修改,在每次选择下一步时都贪心的选择权值最小的那一步,这样就省去了回溯的递归,算法复杂度为O(N * N)的线性时间。代码如下:
/**//*
* File: KnightTravel3.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
如果不要求找出所有结果,可以使用贪心算法,在(x, y)的选择时,永远只选择权值最小的那一个跳。就可以很快找到一个结果。travel()函数实现了这种思想。但为何贪心选择可以算出结果有待证明:是一定可以算出,还是可能性很大?验证N = 8的棋盘遍历所有可能的起始点,用贪心法在 x = 5, y = 3时解不出结果,而用回溯遍历所有可能则可以得出结果。因此贪心法解该问题是不正确的。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
int weightStep(int x, int y)
...{
int count = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}
//a是要排序的数组,b是a中的步子的索引,用于贪心选择
int getMin(int a[], int b[], int n)
...{
if (n <= 0) -1;
int min = a[0];
int stepIndex = b[0];
for (int i = 1; i < n; ++i)
...{
if (min > a[i])
...{
min = a[i];
stepIndex = b[i];
}
}
return stepIndex;
}
bool travel(int x, int y)
...{
chess[x][y] = 1;
int x0 = x, y0 = y;
for (int s = 1; s < N * N; ++s)
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
count[k] = weightStep(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]);
possibleSteps[k++] = i;
}
}
if (k > 0)
...{
int d = getMin(count, possibleSteps, k);
x += Jump[d][0];
y += Jump[d][1];
chess[x][y] = s + 1;
step[s] = d;
}
else
...{
printf("Start at %d, %d can NOT travel the chess. ", x0, y0);
return false;
}
}
printf("Start at %d, %d can travel the chess: ", x0, y0);
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
return true;
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
travel(x, y);
}
但很遗憾,实验证明贪心法并不是正确的,因为不能证明贪心选择一定会得到问题的解。可以举出反例:当马开始在(5, 3)位置时,使用贪心算法得不到可行路径,但使用改进后的回溯算法KnightTravel2,则可以解出结果。
综上所述,骑士周游问题不能使用贪心法求解。改进后的回溯法是一个可行的方案,但时间复杂度仍然很高。在王晓东的《计算机算法设计与分析》一书上看到该问题可以用分治递归法求解,但一直没有想出答案,网上也很难找到相关方面的资料。
【参考文献】
[1] 《计算机算法设计与分析(第2版)》 王晓东 电子工业出版社
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
此题实际上是一个汉密尔顿通路问题,可以描述为:
在一个8×8的方格棋盘中,按照国际象棋中马的行走规则从棋盘上的某一方格出发,开始在棋盘上周游,如果能不重复地走遍棋盘上的每一个方格,
这样的一条周游路线在数学上被称为国际象棋盘上马的哈密尔顿链。请你设计一个程序,从键盘输入一个起始方格的坐标,由计算机自动寻找并打印
出国际象棋盘上马的哈密尔顿链。
能够想到的思路是用回溯,马在每一个点最多有8种跳法,遍历所有这8种可能的跳法即可得到结果。这是回溯算法中的子集树的类型,与典型的子集树问题类型不同的是,这里每一枝有8种可能的选择,而典型的子集树问题只有0,1两种选择。
下面是该算法的实现:
/**//*
* File: KnightTravel1.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法,马每一步至多有8种跳法,遍历这8种跳法,得到结果。这是一个子集树的回溯问题,每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N,则时间复杂度为O(8^(N * N)),当N = 8时,算法很慢。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int p = 0;
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
void BackTrace(int t, int x, int y)
...{
if (t >= N * N)
...{
p++;
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
exit(1);
//return;
}
else
...{
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
x += Jump[i][0];
y += Jump[i][1];
chess[x][y] = t + 1;
step[t] = i;
BackTrace(t + 1, x, y);
chess[x][y] = 0;
x -= Jump[i][0];
y -= Jump[i][1];
}
}
}
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d ", p);
}
上述简单回溯算法的时间复杂度是O(8^(N * N)),因为每次都按照Jump定义的顺序遍历,因此在算某些点的时候会很慢。
可以考虑采用启发式的遍历规则:即向前看两步,当每准备跳一步时,设准备跳到(x, y)点,计算(x, y)这一点可能往几个方向跳(即向前看两步),将这个数目设为(x, y)点的权值,将所 有可能的(x, y)按权值排序,从最小的开始,循环遍历所有可能的(x, y),回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径,算出一个可行 的结果很快,但在要算出所有可能结果时,仍然很慢,因为时间复杂度本质上并没有改变,仍为O(8^(N * N))。下面是实现这一思想的代码:
/**//*
* File: KnightTravel2.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法,马每一步至多有8种跳法,遍历这8种跳法,得到结果。这是一个子集树的回溯问题,每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N,则时间复杂度为O(8^(N * N)),当N = 8时,算法很慢。
优化:当每准备跳一步时,设准备跳到(x, y)点,计算(x, y)这一点可能往几个方向跳(即向前看两步),将这个数目设为(x, y)点的权值,将所 有可能的(x, y)按权值排序,从最小的开始,循环遍历所有可能的(x, y),回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径,算出一个可行 的结果很快,但当N = 8时,要计算所有可能的结果仍然很慢,原因是结果太多了。BackTrace()函数实现了这种思想。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int p = 0;
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
int weightStep(int x, int y)
...{
int count = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}
void inssort(int a[], int b[], int n)
...{
if (n <= 0) return;
for (int i = 0; i < n; ++i)
...{
for (int j = i; j > 0; --j)
...{
if (a[j] < a[j - 1])
...{
int temp = a[j - 1];
a[j - 1] = a[j];
a[j] = temp;
temp = b[j - 1];
b[j - 1] = b[j];
b[j] = temp;
}
}
}
}
void BackTrace(int t, int x, int y)
...{
if (t >= N * N)
...{
p++;
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
exit(1);
//return;
}
else
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
count[k] = weightStep(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]);
possibleSteps[k++] = i;
}
}
inssort(count, possibleSteps, k);
for (int i = 0; i < k; ++i)
...{
int d = possibleSteps[i];
x += Jump[d][0];
y += Jump[d][1];
chess[x][y] = t + 1;
step[t] = d;
BackTrace(t + 1, x, y);
chess[x][y] = 0;
x -= Jump[d][0];
y -= Jump[d][1];
}
}
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d ", p);
}
另外,在查阅和搜索骑士问题的资料时,看到很多朋友说可以使用贪心算法,现在做一个验证看贪心法到底对不对:在只需要一个可行结果时,用贪心算法来替代回溯算法,对KnightTravel2稍做一下修改,在每次选择下一步时都贪心的选择权值最小的那一步,这样就省去了回溯的递归,算法复杂度为O(N * N)的线性时间。代码如下:
/**//*
* File: KnightTravel3.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马,它是否可能只走63步,正好走过除起点外的其他63个位置各一次?如果有一种这样的走法,则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
如果不要求找出所有结果,可以使用贪心算法,在(x, y)的选择时,永远只选择权值最小的那一个跳。就可以很快找到一个结果。travel()函数实现了这种思想。但为何贪心选择可以算出结果有待证明:是一定可以算出,还是可能性很大?验证N = 8的棋盘遍历所有可能的起始点,用贪心法在 x = 5, y = 3时解不出结果,而用回溯遍历所有可能则可以得出结果。因此贪心法解该问题是不正确的。
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
const int N = 8;
int step[N * N] = ...{-1};
int chess
= ...{0};
int Jump[8][2] = ...{...{-2, -1}, ...{-1, -2}, ...{1, -2}, ...{2, -1}, ...{2, 1}, ...{1, 2}, ...{-1, 2}, ...{-2, 1}};
int canJump(int x, int y)
...{
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0)
return 1;
return 0;
}
int weightStep(int x, int y)
...{
int count = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}
//a是要排序的数组,b是a中的步子的索引,用于贪心选择
int getMin(int a[], int b[], int n)
...{
if (n <= 0) -1;
int min = a[0];
int stepIndex = b[0];
for (int i = 1; i < n; ++i)
...{
if (min > a[i])
...{
min = a[i];
stepIndex = b[i];
}
}
return stepIndex;
}
bool travel(int x, int y)
...{
chess[x][y] = 1;
int x0 = x, y0 = y;
for (int s = 1; s < N * N; ++s)
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
...{
if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]))
...{
count[k] = weightStep(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]);
possibleSteps[k++] = i;
}
}
if (k > 0)
...{
int d = getMin(count, possibleSteps, k);
x += Jump[d][0];
y += Jump[d][1];
chess[x][y] = s + 1;
step[s] = d;
}
else
...{
printf("Start at %d, %d can NOT travel the chess. ", x0, y0);
return false;
}
}
printf("Start at %d, %d can travel the chess: ", x0, y0);
for (int i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
...{
printf("%d ", step[i]);
}
printf(" ");
for (int i = 0; i < N; ++i)
...{
for (int j = 0; j < N; ++j)
printf("%2d ", chess[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
return true;
}
int main()
...{
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y] = 1;
travel(x, y);
}
但很遗憾,实验证明贪心法并不是正确的,因为不能证明贪心选择一定会得到问题的解。可以举出反例:当马开始在(5, 3)位置时,使用贪心算法得不到可行路径,但使用改进后的回溯算法KnightTravel2,则可以解出结果。
综上所述,骑士周游问题不能使用贪心法求解。改进后的回溯法是一个可行的方案,但时间复杂度仍然很高。在王晓东的《计算机算法设计与分析》一书上看到该问题可以用分治递归法求解,但一直没有想出答案,网上也很难找到相关方面的资料。
【参考文献】
[1] 《计算机算法设计与分析(第2版)》 王晓东 电子工业出版社
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